X-i-X'=Xi

Nous dirons dans la suite que la fonction U est de rang i-\- i par rapport à x^ lorsque l'ordre de la plus haute dérivée de X qu'elle contient est i et lorsqu'il sera impossible de l'amener à une forme dans laquelle figureraient un nombre moindre de dérivées de la fonction arbitraire. Nous ne chercherons pas à indiquer ici comment on reconnaît, d'une manière générale, si une fonction U est écrite sous sa forme la plus simple. Cette question, qu'il est aisé de résoudre, ne se présentera pas dans la théorie qui nous occupe.

Nous avons vu que, si Téquation (E/) est la première pour laquelle l'invariant h devienne nul, il existera une solution de l'équation proposée contenant une fonction arbitraire de X et ses dérivées jusqu'à l'ordre i. Je dis que cette solution est irréductible quant au nombre des dérivées et que son rang est bien i-\-\. En d'autres termes, il sera impossible de l'exprimer, ou même de trouver toute autre solution de l'équation, sous une autre forme contenant une fonction arbitraire de X et ses dérivées jusqu'à l'ordre i — u. En effet, si cela était possible, il y aurait, en vertu de la i^éciproque déjà établie, une équation (Ey) d'ordre au plus égal k i — |jl et, par conséquent, certainement inférieur à i pour laquelle l'invariant h serait nul 5 ce qui est contraii-e à l'hypothèse.

Il résulte de là évidemment que, lorsque la première équation pour laquelle l'invariant h s'annule est (E/), toute équation (E/a) d'indice positif ou négatif admettra une solution de rang k — i par rapport à x.

Les résultats précédents s'appliquent sans modification lorsqu'on emploie la deuxième substitution ; le mode de formation des équations d'indice négatif (E,), (E 2V ... se ramène en effet à celui des équations à indice positif par l'échange de x et de y. On yoit donc que la suite des équations d'indice négatif cessera d'être illimitée et se terminera à une équation (E y) pour laquelle l'invariant A- sera nul toutes les fois que l'équation linéaire proposée admettra une intégrale particulière

i; = BY- BiY'-...-ByY'>\

de rang y -}- i par rapport à ->-, et vice versa.

336. Les développements précédents permettent de former très aisément les équations linéaires dont la méthode de Laplace peut fournir l'intégrale générale. Supposons, par exemple, que l'on veuille obtenir toutes les équations admettant une solution de rang i -{- i par rapport à x, c'est-à-dire pour lesquelles la suite des équations d'indice positif se termine à (E/). On choisira arbitrairement ai et bi', l'équation

ni= a, bi — Ci = o

déterminera ensuite c/. La valeur de l'intégrale générale sera donnée par la formule (Sa); les relations (26) feront ensuite connaître de proche en proche les invariants h et k des équations (E/,), . . ., (E). D'après l'application répétée de deux des formules (18), on aura

l b = bi,

J a = ai-+- —log{hhi . . . ^,,).

La valeur connue de l'un des invariants h ou A" permettra ensuite de calculer c. On aura, par exemple,

(39) k = j-^ — abi — c.

38 LIVRE IV. — Cil A P. II.

On pourra même obtenir, sous forme développée, la valeur générale de z. Il suffira d'employer la formule (29), ce qui donnera

(40) . = e-/''-. i. . j^ ... '±uu^n,^^.

h ûx Al <Jx hi^i ^^ l \ J '^ / J

Si on laisse de côté l'intégrale e~-^*«^'-^ qui représente le facteur arbitraire par lequel on peut multiplier z-, cette formule ne contient que les invariants et la fonction 9 dont la valeur est

et qui peut, elle-même, être regardée comme un invariant; car on a

(^MogO dbi dai

àx dy dy ôx

= /q — hi — hi^i.

L'application de la seconde formule (38) nous fournit encore la valeur suivante de 9

(42) 0 = J'"i^-h'iy hh^ . . . h.^^

et cette relation permettra de calculer 9 quand l'équation sera donnée. Pour obtenir la partie de l'intégrale générale qui dépend de X, il suffira de remplacer Y par zéro.

337. Il n'y a donc, on le voit, aucune difficulté à former l'ensemble des équations linéaires dont la méthode de Laplace fournit l'intégrale générale, après des opérations dont on peut fixer le nombre à l'avance. Proposons-nous maintenant de déterminer, parmi toutes ces équations, celles pour lesquelles la suite de Laplace se termine dans les deux sens et qui admettent, par conséquent, une solution générale de la forme

5 = AX + A,X' -^ . . . + A^-X''' + B Y -+-... -i- By Y^^'',

entièrement débarrassée de tout signe d'intégration.

L'expression précédente est de rang î + i par rapport à ;r et de rang j + i par rapport à y. La somme i + / sera appelée le nombre caractéristique de l'équation. Il est aisé de voir qu'il ne change pas quand on applique les substitutions de Laplace; car, si l'on passe de l'équation (E) à (E^), par exemple, le nombre i aura

LA MÉTHODE DE LAPLACE. Sg

diminué de h unités, mais le nombre y aura augmenté de la même quantité (n° 33o) j la somme de ces deux nombres n'aura donc pas changé. D'après cela, si l'on considère l'équation (E/) de rang t, pour laquelle l'invariant h est nul et qui est de la forme

tout se réduira à exprimer qu'elle admet une solution de rang i par rapport à J7 et de rang i—j-r-i par rapport à y. Posons, pour abréger, n = 'H- y et faisons la substitution

l'équation se ramènera à la forme

a désignant une fonction de x et de^. En intégrant, on aura

(44) ^ - aY„ 6 =/='^ 1 <^' - '^'

Yi désignant une fonction arbitraire àe v et X une fonction arbitraire de X. La question à résoudre sera ramenée à la suivante :

Exprimer que l'équation (44) admet une solution de la forme

(45) e = X-^BY — B,Y'— ...— B„Y'«\

oii B, B|, . . ., B„ sont des fonctions déterminées de x et de y et X, Y des fonctions arbitraires de x et de y respectivement.

En substituant l'expression précédente dans l'équation (44) 6t en donnant à x une valeur numérique quelconque, on reconnaît immédiatement que les deux fonctions arbitraires Y et Y, doivent être liées l'une à l'autre par une relation de la forme

(46) y,^XY--X,Y'--...-X„^,Y

X, ).,, . . ., X/+I désignant des fonctions de y parfaitement déterminées. Si l'on remplace 0 et Y, par leurs valeurs dans l'équation

4o LIVRE IV. — CHAP. II.

(44)^ on devra donc avoir

(47) |;(BY--B,Y' + ...-i-B„Y("') = a(ÀY+X,Y'+...+ À„^,Y"'+")'

et cela pour toutes les formes possibles de la fonction Y. Pour qu'il en soit ainsi, il faut évidemment que les coefficients de Y et des dérivées Y''^ soient égaux dans les deux membres. En égalant ces coefficients, on obtient ainsi le système

L'élimination des quantités B montre que a devra satisfaire à l'équation

(49) ^'^^ - ;j^ (^>^i) + ;p («>^2) -...+ (- t)"+i jj;j^, (aX„^,) == o,

qui est linéaire et d'ordre n + i par rapport à a, tous les coefficients étant des fonctions dejK- On aura ensuite les valeurs

dB.

= aÀ,

dBi

= aXi,

àB„

1 r^ aÀ„,

aX„+i

aX„ —

aXi-

xX.)H-

(-0"^(aX„+i),

qui permettront d'écrire l'expression de 9.

D'après la méthode précédente, on voit que, pour résoudre complètement le problème proposé, il suffira de choisir arbitrairement /z + 2 fonctions de y \, Aj-- ••, ^vz+i, d'intégrer ensuite l'équation linéaire du « + i''""^ ordre à une sevde variable indépendante (49)) ce qui donnera a et permettra déformer l'éqviation (E,). Les formules (48) et (45) donneront ensuite l'intégrale générale de cette équation, et l'application répétée des substitutions de Laplace permettra de former par voie de récurrence l'équation

(E), ainsi que son intégrale générale. Mais cette solution, qui se présente ainsi de prime abord, peut être notablement simplifiée et perfectionnée.

338. Il faut d'abord lever une objection qui se présente immédiatement. L'expression obtenue pour l'intégrale générale serat-elle irréductible quant au nombre des dérivées de la fonction arbitraire Y, et ne pourra-t-on pas, par un choix convenable de la fonction Y, réduire ces dérivées à un moindre nombre? Il est aisé de reconnaître que cela aura lieu dans certains cas et de donner un caractère précis permettant de distinguer les valeurs de a pour lesquelles l'intégrale générale sera bien réellement de rang n -\- i par rapport à y.

Nous rappellerons d'abord une identité empruntée aux deux théories voisines de l'équation adjointe et des conditions dintégrabilité des expressions différentielles. Si l'on définit les fonctions nouvelles de r, a, u.,, . . ., [t-n+t pai" l'identité

SJJLOi -^ [Xj (!>' — [Xj w" — . . . — ÎX„^| to'""'"*'

V dy Or- ôy"-^^

OÙ U) désigne une fonction de forme quelconque, on aura aussi

/ ).w — À, lù' — À, lo" -^ . . . — À„+i a>^''-+-*'

et, par conséquent, les fonctions À pourront s'exprimer au mojen des fonctions u.. On aura, par exemple,

(53 > ' ày ' dyn^^

Ainsi, les fonctions u. pouiront être choisies arbitrairement; on en déduira ensuite les fonctions A par l'emploi de l'identité (02).

Ces points étant rappelés, si l'on se reporte à l'équation (49)5 on voit qu'elle prend la forme

( 54 ) (xa -T- ;xi a' -T- . . . -4- jx„^ , ctn+>' = o,

42 LIVRE IV. — en A P. II.

et, par suite, l'équation à laquelle doit satisfaire a, considérée comme fonction de y, est une équation linéaire quelconque d'ordre /i + i . Cet ordre ne s'abaissera dans aucun cas; car, en

vertu des formules (4<^) et (53), pi.„^, est égal au signe près à — -

et ne peut s'annuler qu'avec B^. Si l'on prend pour a une solution quelconque de l'équation ( 54), on déterminera les fonctions \ par l'identité (Sa), puis les B par les formules (48); et l'on aura, en substituant dans la formule (45), l'intégrale générale, qui contiendra la fonction Y et ses dérivées jusqu'à l'ordre n.

Le résultat des raisonnements précédents se traduit par les deux propositions suivantes.

Si l'intégrale générale est de rang n -\- \ ou de rang inférieur par rapport à y, a, considérée comme fonction de y, satisfera à une équation linéaire d'ordre n+i dont tous les coefficients seront des fonctions de y.

Inversement, si a, considérée comme fonction de y, satisfait à une équation linéaire d'ordre n-{- \ et dont les coefficients sont des fonctions dey, l'intégrale générale sera au plus de rang n + i par rapport à y.

En rapprochant ces deux propositions, on obtient évidemment le théorème suivant :

Pour que V équation linéaire

Ox \a. ây I

admette une solution de rang n -\- i par rapport à y, c'està-dire pour que sa solution générale soit de la forme

0 = X ^ BY -h BiY' +. . .-^ B„Y'«'

et ne puisse pas être mise sous une forme analogue où il y aurait moins de dérivées de la fonction arbitraire de y^ il faut et il suffit que a, considérée comme fonction de y, satisfasse à une équation linéaire d'ordre n -4- \ dont les coefficients soient des fonctions de y et ne satisfasse pas à une équation linéaire semblable, mais d'ordre moindre.

D'après cela, si l'on désigne par Y,, Yo, . . . , Y„+i n-{- i solu-

lions particulières quelconques de l'équation à laquelle satisfait a, on devra prendre

a = YjXi — ^ jXi — . . — ^ „-^i \„+i,

X,, Xo, . . . , Xrt^i désignant des fonctions de x qui seront assujetties à la seule condition d'être linéairement indépendantes, afin que a, considérée comme fonction de j', ne satisfasse pas à une équation d'ordre inférieur à /i -h i .

Si l'on se donne a priori les solutions 1; ,, ^2 ^«+i , on

pourra déterminer les fonctions ix par les équations

jjlYi -f- (Xj Y', — . . . = o.

[zY.^ a,Y;^...= o,

et la solution complète du problème n'exigera plus aucune intégration. Mais nous allons voir que l'on peut présenter celte solution sous une forme beaucoup plus élégante et plus commode pour les applications.