CHAPITRE m

l'équatiojv b'euleii et de poisson.

Indications historiques. — Forme réduite de l'équation à étudier. — Cas particulier où les deux constantes p, P' qui y figurent deviennent égales; formes diverses de l'équation. — Solutions particulières homogènes ou entières. — Solutions particulières qui sont le produit d'une fonction de x par une fonction de y. — Invariants de l'équation. — Propriété fondamentale relative aux substitutions linéaires; cas 'particulier où p, p' sont égaux. — Application de la méthode de Laplace. — Recherche directe de l'intégrale dans le cas où la méthode de Laplace peut fournir cette intégrale. — Étude du cas où la suite de Laplace relative à l'équation est illimitée dans les deux sens; on peut raramener p et p' à être compris entre zéro et i. — Intégrale de Poisson et de M. Appell. — Cas limite où l'on a p -j- p' = i. — Indication d'un problème de Géométrie, déjà étudié au tome I, qui se ramène à l'intégration de l'équation

344. Avant de continuer l'exposition des théories générales, nous allons faire l'application des propositions déjà obtenues à une équation remarquable, que nous rencontrerons d'ailleurs dans l'étude de plusieurs questions de Géométrie.

Cette équation est la suivante

, , d-z n dz m ôz p

ô.t- ôy X — y Ox X — y Oy {x — y)^ ~ '

OÙ m, /2, p désignent trois constantes auxquelles on peut attribuer des valeurs quelconques. Sous sa forme la plus générale, elle a été traitée par Laplace dans le Mémoire que nous avons cité au n° 325 [p. 22]. Le cas particulier où m est égal à n s'était déjà présenté dans les recherches d'Euler relatives à la propagation du Son. Le grand géomètre a étudié ce cas particulier sous toutes ses formes dans le t. III de son Calcul intégral (Chap. III, IV et V de la seconde Section) ; il a montré que la solution la plus générale de l'équation peut être obtenue, sans qu'il y ait une intégrale première, toutes les fois que, p étant ramené à zéro par une transfor-

l'équation u'euler et de poisson. 55

malion que nous allons indiquer, la valeur commune de m et de n est un nombre entier; et il a donné cette solution générale sous une forme développée qui était alors tout à fait nouvelle dans la Science et qui contenait les dérivées des fonctions arbitraires jusqu'à un ordre quelconque. D'autres travaux très importants, que nous aurons l'occasion de citer, ont pour objet, soit l'équation générale, soit le cas particulier où ni est égal à n. De toutes les équations que nous aurions pu choisir, il n'en est aucune dont l'étude présente plus d'intérêt et puisse fournir autant d'indications précieuses sur l'intégration des équations linéaires les plus générales.

34o. Si Ton effectue la substitution

(2) z = yx-y)^^, on obtiendra pour 8 l'équation suivante

' Ox of X — y Ox X — y Oy {x — y)^

où l'on a

(4) m' ^ m -h 7.. /i'=rt-^a, />' = /)-+- a- -r- a (/?i -f- « — i).

L'équation (3) est de même forme que la proposée, mais on peut disposer de a, ce qui permet de la simplifier. Par exemple, il existe en général deux valeurs de a pour lesquelles le terme en H disparaîtra. Nous pourrons donc, dans ce qui va suivre, nous borner à considérer l'équation

d'-z p' dz , .3 dz

ôxdy X — y àJi^ J" — y ^y

débarrassée du terme en z. Nous l'appellerons l'équation E(P, ^') et nous désignerons par la notation Z(^, ^') une quelconque de ses solutions.

Il résulte des formules (4) que, si l'on pose

l'équation en 8 sera

,., (^20 I — 3 ()0 1-3' dO

dxOy X — y Ox X — V Oy

50 LIVRE IV. — CII.VP. Ifl.

Celle équalioa est de même forme que l'équalion (E), mais [i el [i' y sonl remplacés respectivement par i — |3' et i — [i. En faisant -jsage de la notation indiquée plus haut, on peut dire que l'on a

Cette pi'opriété si simple joue un rôle important dans l'étude de l'équation,

346. Si l'on applique à l'équation (E) la substitution générale définie par la formule (2), elle prend la forme (3), m', n', p' ajanl les valeurs particulières suivantes :

On peut donc disposer de a de manière à faire disparaître soit le terme en -^ , soit le terme en -^ • On ne peut les faire disparaître simultanément que si l'on a

P - P'- Supposons cette condition vérifiée. En efTecluant la substitution

on obtiendra pour 0 l'équation

ox dy {x — jk)'

en sorte que, si l'on désigne par Zp une solution quelconque de cette équation, on aura

c'est-à-dire que l'on obtiendra toutes les solutions de l'équation (e) en multipliant par (.r — y)^ toutes les solutions de l'équation

Par des changements de variables que l'on apercevra facilement, l'équation (e) peut se mettre sous l'une des formes suivantes

à- z 0.111 dz ôx- X dx

— x"^ ùy^ dx-

L ÉQUATION D EILER ET DE POISSON. 5y

qui ont été données par Euler et qui la rapprochent de Téqualion de Riccati.

347. Revenons à l'équation générale E(P, ^'); on peut obtenir, et de différentes manières, un grand nombre d'intégrales particulières de celte équation. Cherchons, par exemple, les intégrales homogènes en v et j*. Si Ion pose

on sera conduit, par la substitution de la valeur de z dans l'équation (E), à la relation

(12) «(i — Ot-'CO-^ [' — >■- 3 -d — À --3')«]5'(/)-^).?'ç(/)=.o.

C'est, avec des notations différentes, l'équation différentielle à laquelle satisfait la série hvpergéométrique. On peut prendre pour c deux quelconques des intégrales particulières de cette équation, par exemple les deux suivantes

qui conduisent aux valeurs suivantes de z :

Quelques-unes de ces solutions jouent, comme nous le verrons plus loin, un rôle important dans la recherche de l'intégrale générale de l'équation.

Si l'on donne à A une valeur entière et positive, la première solution

devient un polynôme homogène et entier de degré a. On voit donc que l'équation proposée admet une infinité de solutions entières.

348. On peut aussi, en suivant une méthode très usitée en PJivsique mathématique, chercher si l'équation proposée admet des sokitions qui soient le produit d'une fonction X de .r par une fonction Y de j\ Si l'on substitue à la place de z le produit XY, on obtient la relation

(^— jk)X'Y'— 3'X'Y -f- !3XY'= o, à laquelle on peut donner la forme suivante :

SX S'Y

La valeur commune des deux membres ne peut être qu'une constante; on aura donc

pX S'Y

ce qui donne, en intégrant et négligeant les constantes qui entrent en facteur,

X^(^ — a)-i^ Y = (jK-a)-?'.

Ainsi, quelle que soit la constante a,

sera une solution particulière de l'équation proposée. Si l'on applique la proposition énoncée à la fin du n*' 3io, on verra qu'il en est de même de

(i5) (j-.r)i-p-ri'(^ — a)P'-i(j a)?-i.

349. Le calcul des invariants h et k de l'équation n'offre aucune difficulté. On a

(16) A^f---^\ ,= lilzzl}.

Ces valeurs si simples mettent sur la voie de la plus importante des propriétés de l'équation E((3, [5').

Nous avons vu en effet au n° 327 que, si l'on effectue sur les variables indépendantes la substitution

h EQUATION D EULER ET DE POISSON. 5çf

les nouvelles valeurs h\ k' des invariants sont

Il suit de là, et de la valeur particulière que prennent ici h et A", que ces invariants conserveront la même valeur lorsqu'on eflectuera sur x et sur y une même substitution linéaire, d'ailleurs quelconque. Par conséquent, si o(x, y) désigne une solution quelconque de l'équation E(^, ,3'), la fonction

/cx-i-d c Y — d\ • \ax -^ o a y -r- » /

où les constantes a, b, c, d ont des valeurs quelconques, sera une solution d'une équation linéaire ayant les mêmes invariants. On retrouvera donc une solution de l'équation proposée (n** 328) en multipliant l'expression précédente par une fonction déterminée, la même pour toutes les solutions. ^ oici comment on peut obtenir ce multiplicateur.

Considérons la solution particulière déjà donnée au numéro précédent

Si Ion effeclue sur x et sur > une même substitution linéaire définie par les constantes a, 6, c, d^ elle prend la forme

A(aa:-H b)-^(ay — 6)+?'(j- — % )-^iy — i')-?',

A étant une constante et a' étant définie par la relation

ct! -^ d

ax — b

11 suit de là qu'on retrouve une solution de l'équation proposée multipliée par le facteur ( ax H- b)'^?{ay -f- b^t"' : et Ion est ainsi conduit à la proposition suivante, qu'il est aisé d'ailleurs de confirmer par un calcul direct et rigoureux.

Si Von a obtenu une solution quelconque de l'équation E(^, ^'), on pourra en déduire la solution plus

6o LIVRE IV. — CIIAP. III.

générale

' \ax -r b ay ^ h 1 ' ^ --^ ' a, b, c, d désignant des constantes quelconques.

Ce résultat est dû à M. Appell, qui l'a établi dans une Note élégante consacrée à l'étude de l'équation E([3, '^') (<). Nous l'avions obtenu d'abord pour le cas particulier de l'équation E( [3, [3) (-) oii il revêt une forme particulièrement simple, et voici comment nous y avons été conduit.

Reprenons la forme (e) de cette équation que nous écrirons ainsi :

ù^-z dx dy

dx dy -- m{\ — m )

dxôy •" 'i^x — yy^

Le premier membre demeure invariable lorsqu'on remplace x et j' respectivement par des fonctions quelconques de ces variables. Quant au second membre, il contient le facteur

dx dy

{x — yY'

qui est le carré de l'élément linéaire d'une sphère [1, p. 3o] ; et il demeure invariable (n" 21) lorsqu'on effectue sur x et sur y une même substitution linéaire. Donc, de toute solution de l'équation (e), on peut déduire une infinité de solutions nouvelles, en effectuant sur les variables x et y une même substitution linéaire quelconcjue.

350. Voici une première conséquence de ces propositions. Si l'on différentie la solution générale (17) par rapport à Tune quelconque des constantes «, ^, c, d et si, après les différentiations, on attribue à ces constantes les valeurs o, i, 1,0, on obtient des

(') Appkll, Sur une équation linéaire aux dérivées partielles {Bulletin des Sciences mathématiques, 2' série, t. VI, p. 3i4j 1882).

( = ) Darboux, Sur une équation linéaire aux dérivées partielles {Comptes rendus, t. XCV, p. 69; juillet 1882).

l'éqcation d'euler et de poisson. <ïI

combinaisons linéaires des trois expressions suivantes :

.' ; Oo drs do dz>

l Ox -^ dv ^ r y / .

Ainsi, lorsqu'on aura une solution quelconque de l'équation E(^, ^'), on en déduira des solutions nouvelles en opérant sur cette solution au moyen des symboles

âx dy dx dy

ari -1 yî î 3j: ^ 3' y.

dx -^ dy ^ ^ -^

Pour le cas de l'équation (e), le dernier symbole se réduit à

la forme simple '

jpî yî ■.

dx -^ dy

Si l'on emploie la notion si importante des transformations infinitésimales due à M. Lie, on pourra dire que l'équation E(,3, p') admet trois transformations infinitésimales. Cette propriété a d'ailleurs été signalée par M. Lie.

351. Proposons-nous maintenant d'appliquer à l'équation considérée la méthode de Laplace. Les valeurs des invariants h et /»• ont été déjà données au n" 34-9; et l'on reconnaît aisément, en commençant les calculs, que les invariants hi et A/ de l'équation (E/) sont de la forme

ix — v)- (X—V)-

\i et B/ désignant des constantes. Les formules (25) du n'^ 331 nous donnent ici

Ces relations de récurrence conduisent, par un calcul facile,

6?. LIVRE IV. — CUVP. m.

aux valeurs générales de A/ et de B/; on trouve ainsi

Ai= i2— (A — B-t- i}i-~A,

B, rr= i2-^(A - B— l)f -t-B,

OU, en remplaçant A et B par leurs valeurs,

Si aucun des nombres [i, p' n'est un entier réel, la suite de Laplace sera illimitée dans les deux sens. Pour qu'elle soit limitée dans un sens, il suffira que l'un des nombres soit entier. Par exemple, pour que la suite soit limitée du côté des indices positifs, il faudra (n" 333) que l'un des nombres

soit un entier positif ou nul; pour qu'elle le soit du côté des indices négatifs, il faudra que l'un des nombres

soit un entier nul ou négatif. La suite ne peut donc être limitée dans les deux sens que si les deux nombres [^, ^' sont des entiers de même signe, la valeur zéro n'étant exclue pour aucun d'eux. Dans ce cas, l'intégrale générale s'obtiendra sans aucun signe de quadrature; c'est ce que l'on vérifie aisément de la manière suivante.