Reprenons léqualion E([^, [^'), écrite sous la forme

d^z dz dz

^ ^ ' ùxdy ^ dx ' df '

et différentions-la par rapport à x, par exemple. Elle devient

âz . .

Cette relation exprime que y- satisfait à l'équation E((3 + i, [i').

Si nous employons la notation proposée au n'^ 3i5, nous aurons

L EQl VTIO.\ D EULER ET DE POISSON. 63

donc

et l'on Irouverait de même

L'emploi répété de ces denx formules conduit à la suivante

qui les contient toutes les deux. Nous allons déduire les conséquences de ces diverses relations; mais, auparavant, il est indispensable de présenter les remarques suivantes.

Considérons, pour fixer les idées, la formule (21); elle nous

apprend que, si z est une solution de l'équation E(^, ^'), -- sera

une solution de l'équation E(^ -^ i, ,3'). Mais on n'a pas le droit de conclure qu'en prenant les dérivées par rapport à j:* de toutes les solutions de l'équation £(^3, ^S'), on aura toutes les solutions de l'équation E^S H- 1, ,3'). Pour décider ce point essentiel, il suffira évidemment de chercher si, étant donnée une solution r, de l'équation E(,3 -j- i, ^'), on peut toujours en déduire une solution ;; de £(^3, ^3') par la formule

Portons cette valeur de — dans l'équation E(,3, ^'), elle prendra la forme

et elle fournira — tant que 3 ne sera pas nul. On aura

fjy 1 l l

dz '^' T — V dzi

et, par suite

dz = z, d:r -. ^z,-"^ ^] dy.

64 LIVRE IV. — Cil A P. III.

Le second membre est une différentielle cxacLe, en vertu de l'équation E(,3 -f-i, [i') à laquelle satisfait ;:,. En l'intégrant, on en déduira la valeur de z.

Ainsi, ia/iù que [i sera différent de zéro, la formule (21), appliquée aux différentes solutions de E(iB, [3'), donnera toutes les solutions de E(|3-hi, 3); Gt, par conséquent, l'intégrale générale de cette dernière équation pourra se déduire de celle

deE{f.,^J).

11 est aisé de reconnaître que, si ,3 est nul, la proposition cesse d'être exacte; car la valeur générale de .z est alors

Z ( o, ^' ) = r.X (jK — X )-?' dx nr- Y

et la dérivation par rapport à x élimine la fonction arbitraire Y. La proposition que nous avons établie s'étend naturellement à la formule (a^), par l'échange àa x et de j^; et, par suite, elle nous conduit, relativement à Téquation générale (aS), à la conclusion suivante :

La formule (aS) permet de déduire V intégrale générale de Inéquation E(,3-|-/;^, [i' + zi) de celle de Véquation E(|j, |^') toutes les fois qu^aucun des nombres

iJ, 1^ -r I, . . ., ^ — //^ I,

jj , p -T- I , . . • ) p "'~ ''■ — 1

n'est égal à zéro.

3o3. Faisons, en particulier, ^o = 1 , ^' = i et remplaçons m, n par m — \ , n — i . La formule (^3) nous donnera

et il suffira de remplacer Z(i,i) par sa valeur la plus générale pour obtenir l'intégrale générale de E(/??, /i). Or l'équation E(i , i)

<)- z àz ôz

•^ dx ily dx'^ ôy '^

s'intègre immédiatement et nous donne

l'équation d'euler et de poisson. 65

X désignant une fonction de x et \ une fonction de y. On aura donc, pour l'intégrale générale de E(/?i, n), la formule élégante

Le développement du second membre donnera une expression de rang m par rapport à j" et de rang n par rapport à y, ce qui est conforme à la théorie développée dans le Chapitre précédent.

Supposons maintenant que ^ et ^' soient des entiers négatifs : si nous faisons usage de la formule (6) démontrée au n° 345, nous pourrons donner à l'équation (28) la forme nouvelle

OU, en remplaçant ,3, ^', /«, /j respectivement par i — 3'. i — 3. /?. /??,

Si l'on fait dans cette équation 3 = ,3' = o, on est conduit à la formule

(•26 ) Z{—m, — n) = {x — yyn+u^i — ( : ),

qui donne l'intégrale générale de l'équation E( — m, — n).

On peut enfin obtenir l'intégrale générale lorsque la suite de Laplace est limitée d'un seul côté, c est-à-dire toutes les fois que l'un des nombres ^, ^' est entier. Supposons, par exemple, ^ égal à un entier positif/??. On aura

L'équation E(i, ^') avant sou invariant h égal à zéro, on déterminera sans difficulté son intégrale générale Z(i, ^'). En la substituant dans la formule précédente, on trouvera

(27) Z{m, ?') = ^^:^ j (x-y)-?'[\ -J \\x -j)?'-' dr]

D'après la remarque développée plus haut (n° 3o!2), il serait impossible de faire dériver cette intégrale générale de celle de l'équation E(o, ^').

66 r, IVRE IV. - cil Al', m.

3o4. Lorsque aucua des nombres ^, '^' n'est un entier réel, la méthode de Laplace associe à l'équation proposée une suite d'équations qui est illimitée dans les deux sens. Il faut alors, pour obtenir l'intégrale générale, employer des méthodes spéciales que nous allons maintenant développer.

Remarquons d'abord que les formules générales (21) et (aa), qui, dans le cas actuel, ne sont plus sujettes à la difficulté signalée au n" 352, permettent de ramener l'intégration de l'équation E(,3, ,3') à celle de l'une quelconque des équations

OÙ m et n sont deux entiers quelconques. En disposant convenablement de ces entiers, on ramènera [i et ^', ou leurs parties réelles si ces quantités sont imaginaires, à être comprises entre o et 1. Nous pourrons donc nous contenter, dans la suite, de traiter les équations pour lesquelles les parties réelles de [^ et |i' sont positives et inférieures à l'unité.

Poisson a donné ( ^ ), pour le cas où ^ et ^' sont égaux, une forme générale de l'intégrale, qui contient deux fonctions arbitraires sous des signes d'intégration définie; et M. Appell, dans la Note déjà citée, a étendu cette formule de Poisson au cas où ^ et [3' sont quelconques. Voici comment on est conduit à ces résultats :

Nous avons déjà remarqué au n" 3i8 que l'expression

llix — ay^iy — a)-'^'

est, pour toutes les valeurs des constantes II, «, une solution particulière de l'équation E([i, ^'). Il suit de là que l'intégrale définie

o{u){x— 11)-^ {y — ii)-t>' du,

prise entre deux limites constantes A, B, sera encore une solution; car l'équation E(^, ^') est linéaire, et l'intégrale définie précé-

(' ) Poisson, Mëinoirc sur l'intégration des équations linéaires aux dérivées partielles {Journal de l'École Polytechnique, t. XII, XIX" Cahier, p. 2i5; 1823).

l'équation d'eiler et de poisson. 67

(lente peul être considérée comme une somme de solutions particulières.

Nous obtenons ainsi une solution qui est assez générale puisqu'il y figure une fonction arbitraire sous le signe de quadrature. Le raisonnement par lequel nous établissons qu'elle satisfait à l'équation cesserait d'être applicable si l'une des limites constantes A, B entre lesquelles elle est prise était remplacée par une fonction de X et de y. Le résultat subsiste cependant, et l'intégrale définie ne cesse pas de satisfaire à l'équation, si l'on substitue à une de ces limites A, B, soit x^ soit y. Voici comment on peut le reconnaître a priori.

Supposons, pour fixer les idées, que 3 et ,3' soient des nombres réels et impairs, c'est-à-dire que, réduits à leur plus simple expression, ils soient de la forme — Admettons que les limites

constantes A, B comprennent x dans leur intervalle et que y soit supérieur à la plus grande. Décomposons l'intégrale prise de A à B en deux parties, l'une prise de A à x, l'autre de .c à B. L'une de' ces parties sera réelle, l'autre imaginaire; elles devront donc, prises séparément, vérifier l'une et l'autre l'équation proposée. C'est ce que nous confirmerons tout à l'heure par un calcul direct où nous prendrons les précautions nécessaires pour calculer les dérivées de l'intégrale définie.

Nous adopterons dans la suite les limites y et x^ ce qui donnera

I ^{u){u — x)-P(y — u)-?' du.

A ce premier terme on peut ajouter le suivant. Nous avons vu a»i n° 34o que

est toujours une solution de l'équation E(^, ^'). Si l'on prend pour. Z(i — 3', I — ,3 ) la valeur

1^ 'h(u)(u — x)?'-Ur—ii>?-^du.

68 LIVRE IV. — CHAP. m.

on irouvera la nouvelle solution

de l'équation proposée. En réunissant les deux termes ainsi obtenus, on aura pour Z(^, |5') la formule générale

qui contient deux fonctions arbitraires distinctes.

Pour vérifier que cette intégrale satisfait effeclivemenl à l'équation proposée, il suffira de la transformer comme il suit.

Posons

u — x(i — t ) -t- yt,

l'intégrale prendra la forme

où les limites variables des quadratures sont remplacées par les constantes o et i . On peut maintenant calculer sans difficulté les dérivées successives de z et les substituer dans l'équation proposée; on reconnaîtra que cette équation est vérifiée. Il est permis, d'après les remarques précédentes, de se contenter de vérifier un seul des deux termes. Si nous nous bornons au second, nous trouverons, pour le résultat de la substitution,

■i et 3' étant positifs, ce résultat est évidemment nul.

3o5. Dans le cas exceptionnel où l'on a

les deux termes de l'intégrale se ramènent l'un à Taulre, et la va-

l'éqvatiox d'euler et de poisson. r>9

leur de Z(,3, ,3') se réduit à la suivante

f io-^'l)t-?(i~t)?-i (It,

qui ne contient en réalité qu'une seule fonction arbitraire s — -l.

Pour conserver les deux fonctions arbitraires, on opérera de la manière suivante.

Posons

et remplaçons es et 6 respectivement par f — ^^ f -r f'> puis développons Z(^, 3') en conservant seulement les termes qui ne s'annulent pas pour 3=0. On obtient ainsi la formule

qui a été déjà donnée par Poisson, dans le Mémoire cité plus haut, pour le cas spécial où Ton a 3 = -•

3o(). La méthode par laquelle Poisson a obtenu lintégrale générale de l'équation E(^, ^), ainsi que celle que nous avons suivie, laissent prise à des objections évidentes. Bien que la formule générale (28) contienne deux fonctions arbitraires, rien ne permet d'affirmer qu'elle donnera toutes les intégrales de l'équation proposée. Si l'on remplace, par exemple, les limites .r et r des deux intégrales de la formule par des constantes a et b, n'aura-l-on pas des solutions nouvelles distinctes de celles qui sont données par la formule primitive? Nous allons montrer dans le Chapitre suivant que l'on peut faire disparaître toutes ces difficultés, et confirmer la généralité de l'intégrale, par l'étude approfondie d'une idée de Riemann. Mais, en terminant ce Chapitre, nous rappellerons que déjà, dans un problème de Géométrie, nous avons rencontré un cas particulier de l'équation E(3, ^). Au n° 162 [I, p. 242] nous avons ramené la détermination des surfaces qui admettent pour représentation sphérique de leurs lignes

70 LIVRE IV. — CHAP. III. — l'ÉQUATIOX u'kLLER KT DE POISSON.

de courbure un sYStènie de coniques homofocales à l'inlégralion de l'équation aux dérivées partielles

Celte équation n'est autre que E( — ? — -]• Son intégrale

générale se déduit de celle de l'équation E( -?- U qui, comme

nous venons de le rappeler, a été donnée par Poisson. Cette intégrale est assez compliquée ; mais il résulte des propriétés que nous avons données aux n"** 347 et 348 que l'on pourra obtenir un nombre illimité de solutions algébriques.

Si l'on choisit, par exemple, la solution particulière

on retrouve les surfaces du second degré; si l'on prend la solution encore plus simple

on obtient la surface remarquable de quatrième classe que nous avons étudiée au n° 159 [I, p. 235].