CHAPITRE L

3iOTIOMS GÉKÉRALES SUR LES COCRUEACES.

DéQnition de la congrucDce. — Nombre limité de courbes passant par un point. — Cas d'exception. — Surfaces de la congruence. — Déûnition des points focaux. — Détermination du nombre et du degré de multiplicité des points focaux; application aux congruences engendrées par des courbes planes algébriques. — Surface focale, ses relations de contact avec les courbes et avec les surfaces de la congruence. — Détermination des surfaces de la congruence dont les génératrices admettent une enveloppe. — Cas particulier des congruences rectilignes. — Les deux séries de développables que l'on peut former avec les droites de la congruence. — Cas particulier où une des nappes de la surface focale se réduit à une courbe. — Proposition fondamentale relative à deux systèmes conjugués tracés sur les deux nappes de la surface focale. — Relation de cette proposition avec la méthode de transformation des équations linéaires aux dérivées partielles qui est due à Laplace.

311. Considérons un svstème de courbes, défini par les équalions

OÙ a et 6 désignent deux constantes arbitraires. Nous désignerons sous le nom de congriience, emprunté à Pliicker, l'ensemble des courbes correspondantes à tous les systèmes de valeurs de a et de h. Il est clair qu'il passe un nombre limité de courbes de la congruence par un point quelconque de l'espace ; car, si l'on remplace, dans les équations précédentes, jr, jk, z par les coordonnées Xo,.Xo5 ^0 ^6 ce point, on aura deux relations qui détermineront, en général, un nombre limité de systèmes de valeurs de a et de h. Cependant, il peut arriver que, pour certains points exceptionnels, ces équations admettent un nombre illimité de solutions. Il pourra donc y avoir certains points par lesquels passeront une infinité de courbes de la congrucnce.

Imaginons, par exemple, que l'on considère la congruence formée par les droites qui rencontrent une courbe (K) et sont tangentes à une surface (S). Les droites de la congruence qui passent par un point M de lespace sont, en général, en nombre limité; elles sont les arêtes d'intersection de deux cônes de sommet M, l'un circonscrit à la surface (S), l'autre contenant la courbe (K). Mais, si le point M appartient à la courbe (K.), il y passera une infinité de droites de la congruence qui formeront le cône circonscrit à la surface (S) ayant son sommet en ce point.

Si l'on considère de même la congruence formée par les cercles de l'espace qui passent par deux points fixes A et B, on reconnaît immédiatement qu'il passe, en général, par un point M un seul cercle de la congruence. Cette conclusion cesse d'être exacte si le point M vient se réunir à l'un des points A, B; on obtient alors tous les cercles de la congruence.

Les deux exemples difierents que nous venons de signaler correspondent aux deux cas qui peuvent se présenter lorsqu'il y a indétermination. Dans le premier, les deux équations auxquelles doivent satisfaire a et 6 se réduisent à une seule; dans le second, elles sont, l'une et l'autre, identiquement vérifiées.

312. Revenons aux congruences les plus générales. Si Ton établit une relation quelconque entre a et b

les courbes de la congruence qui correspondent aux valeurs de a

NOTIONS GENERALES SUR LES CONGRIENCES. i

et de b pour lesquelles cette relation est vérifiée engendreront une surface que l'on obtiendra en éliminant a ci b entre les équations (i) et (2). Le plan tangent en un point (x^v^ z) de cette surface sera défini par l'équation

— dx — ^ dv dz - - -r- -•'r F (a)

d.T ÔY ■ àz fia f)b

'^. ^ ihj ^ &:. rhj '

—- dx — .' dy — -- dz -^ — ~j¥ {a)

dx dy -^ Oz da db '

dont la forme va nous conduire à une proposilion très intéressante.

Donnons, pour abréger, le nom de surfaces de la congruence aux surfaces que nous venons de définir et qui sont engendrées par des courbes de la congruence, choisies d'ailleurs de la manière la plus arbitraire. Considérons quatre de ces surfaces, passant par une même courbe (C) de la congruence, et prenons leurs plans tangents en un point déterminé M de cette courbe; x, y, :-, a, b auront, en ce point, la même valeur pour toutes les surfaces, F'(«) variera seule quand on passera d'une surface à une autre.

De celte remarque et de la forme de l'équation (3), nous pouvons donc conclure que le rapport anliarmonique des plans tangents en M aux quatre surfaces, plans tangents qui contiennent tous la tangente en M à la courbe (G), est égal à celui des valeurs de F'(rt) relatives aux quatre surfaces et est, par conséquent, le même pour tous les points de la courbe (C). Ainsi :

Si l'on considère quatre sur/aces quelconques de la congruence contenant une même courbe de la congruence, le rapport anliarmonique des plans tangents à ces surfaces en un point quelconque de la courbe commune demeure constant quand le point se déplace sur cette courbe.

L'équation du plan tangent nous conduit encore à une autre conséquence essentielle. Déterminons sur la courbe commune (C) les points pour lesquels on a

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