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LIVUK IV.

Pour CCS points, le plan tangent sera indépendant de F'(a) et, par conséquent, sera le même pour toutes les surfaces de la con- {^ruence contenant la courbe (C). Ainsi :

Si l'on considère toutes les surfaces de la congruence qui contiennent une même courbe (G) de la congruence, ilexistera sur (C) un certain nombre de points pour lesquels toutes ces sur/aces admettront le même plan tangent, quelle que soit la loi suivant laquelle on ait assemblé les courbes qui les engendrent.

jNous désignerons ces points sous le nom àe points focaux.

313. Le nombre des points focaux situés sur chaque courbe dépend de la forme des équations (i) par rapport à x,y, z plutôt que de la manière dont y figurent a et b. En d'autres termes, il dépend surtout de la forme et de la définition des courbes de la congruence, plutôt que de la manière dont elles sont assemblées. Supposons, par exemple, que les équations (i) soient du premier degré par rapport à ^, y, z et représentent une droite : l'équation (4) sera du second degré, en général, et définira deux points focaux sur chaque droite de la congruence. Si / est du degré m et © du premier degré, la congruence sera formée par des courbes planes d'ordre m. L'équation (4) étant alors du degré /?z + i , il y aura, en général, 7n[m + i) points focaux sur chaque courbe de la congruence.

Lorsque les courbes de la congruence rencontrent une courbe fixe (K), leurs points de concours avec la courbe fixe sont évidemment des points focaux. Il en est de même si ces courbes passent par des points fixes; mais nous allons montrer que, dans ce dernier cas, chacun de ces points fixes équivaut au moins à deux points focaux.

Soit, en effet, M un point par lequel passent toutes les courbes de la congruence. Si on le prend pour origine des coordonnées,, les équations (i) ne contiendront pas de terme constant et les termes de degré moindre seront au moins du premier degré. Par suite, les termes de degré moindre dans l'équation (4) seront au moins du second degré; et deux, au moins, des points d'inter-