L\ MÉTHODE DE RI EMVXX

précédents, permet d'intégrer l'une des équations de la suite, la formule à laquelle on est conduit, et dont nous avons indiqué la forme, représente effectivement la solution générale de l'équation considérée. Mais il existe d'autres raojens, plus ou moins indirects, de parvenir à des formules générales qui représentent des solutions d'une équation aux dérivées partielles; tel est celui que nous avons employé, par exemple, pour obtenir la formule de Poisson généralisée par M. Appell. A quel caractère pourra-t-on reconnaître que de telles formules fournissent l'intégrale générale de l'équation considérée? Ampère, dans le célèbre Mémoire inséré aux XVIP et XVIIP Cahiers du Journal de V École Polytechnique ('), a adopté la règle suivante :

« Pour qu'une intégrale soit générale, il faut qu'il n'en résulte, entre les variables que l'on considère et leurs dérivées à l'infini, que les relations exprimées par l'équation donnée et par le> équations qu on en déduit en la différentiant (-). »

Celte intéressante définition porte la marque de l'esprit philosophique de son illustre auteur; on pourrait la justifier en s'appuvant sur les travaux ultérieurs de Cauchj; mais il vaut mieux, nous semble-t-il, déduire de ces travaux une définition nouvelle de l'intégrale générale. Si nous supposons, par exemple, que l'équation aux dérivées partielles soit du second ordre et à deux variables indépendantes, Cauchy a montré que, sous certaines conditions de continuité qu'il est inutile de rappeler ici, il existe une intégrale de l'équation, déterminée par la condition de prendre des valeurs données à l'avance, ainsi que l'une de ses dérivées premières, pour toutes les valeurs de x et de j' liées par une relation donnée ou, si l'on veut, représentées géométriquement par tous les points d'une courbe analytique plane. Cette importante proposition, que nous avons déjà rappelée [I, p. 388], conduit par

( ' ) Ampkre, Considérations générales sur les intégrales des équations aux différentielles partielles, lu à llnslitut le ii janvier i8i4 {Journal de l'École Polytechnique, WII* Cahier, p. 5 jg.)

ÀMPtRE, Mémoire contenant l'application de la théorie exposée dans le XVII' Cahier du Journal de l'École Polj'lechnique à l'intégration des équations aux différentielles partielles du premier et du second ordre {Journal de l'Ecole Polytechnique, WIIl" Cahier, p. i; 1820).

(») Journal de l'École Polytechnique, XVII' Cahier, p. 55o.

gS LIVRE IV. — CIIAP. IV. — LA MÉTHODE DE RIEMANN.

une voie naturelle à une définition nouvelle et rationnelle de l'intégrale générale : pour qu'une formule obtenue par une voie quelconque représente l'intégrale générale, il suffira évidemment que l'on puisse disposer des arbitraires qui y figurent, fonctions ou constantes en nombre illimité, de manière à retrouver les solutions dont les théorèmes de Cauchy nous démontrent l'existence, c'està-dire de manière à attribuer à la fonction inconnue et à l'une de ses dérivées premières des valeurs se succédant suivant une loi quelconque, donnée à l'avance, pour tous les points d'une courbe. Il pourra arriver, sans doute, que la formule obtenue laisse échapper certaines solutions exceptionnelles : cette circonstance se présente déjà pour les équations différentielles à une seule variable indépendante qui peuvent avoir des solutions singulières dans certains cas exceptionnels. Il pourra arriver aussi que la solution obtenue ne convienne que pour les valeurs de x et de y représentées géométriquement dans une région déterminée du plan; plusieurs formules pourront être nécessaires pour représenter l'ensemble des intégrales. Le critérium qui se déduit immédiatement des résidtats de Cauchy est précisément le moyen le plus sûr que nous ayons de reconnaître, dans les cas difficiles, le degré de généralité que présente une intégrale donnée a priori.

Appliquons ces remarques aux relations que nous avons établies entre une équation linéaire et son adjointe. Toutes les fois que l'une des deux équations s'intégrera directement, c'est-à-dire par l'application de la méthode de Laplace, il en sera de même de l'autre. D'ailleurs, lorsqu'on aura obtenu par un procédé quelconque l'intégrale générale de l'une des équations, on pourra déterminer la fonction u de Riemann et, par suite, intégrer aussi l'autre équation. Nous pouvons donc, en tenant compte des remarques précédentes, énoncer d'une manière générale la proposition suivante :

Etant données une équation linéaire et son adjointe, l'intégration par un procédé quelconque de l'une des deux équations entraine comme conséquence celle de l'autre équation.