LA MÉTHODE DE RIEMANN. OS

366. On peut déduire une autre conséquence des relations entre les invariants de l'équation et ceux de son équation adjointe. Désignons par (E) l'équation, par (E') son adjointe et appliquons à l'une et à l'autre la méthode de Laplace. Nous obtiendrons deux suites d'équations

.... (E,). (E 0, (E), (E,), (E,), ..., .... (E^,). (E',), (E'). (Ei), (E,), ....

Or nous avons vu au n" 331 que, si l'on désigne par /<, et h les invariants A' et h de l'équation (E), ceux de l'équation (E,) seront hi i et hi, les quantités ht se déterminant au moyen des deux premières, h e\.h\, par la relation de récurrence

La sjmétrie de cette formule nous permet de reconnaître immédiatement que, si l'on passe de (E) à l'équation adjointe (E'), c'est-à-dire si l'on échange les deux premiers invariants /i, et /i, au lieu d'obtenir la suite

.... h-3, h-t, h-i, h. A,, hi, ...,

on aura

hi. hi, h. h^i, h-

11 résulte de là que l'équation (E/) aura ses invariants égaux, à l'ordre près, à ceux de l'équation (E^^). Par conséquent, l'adjointe de (E,) sera l'équation (El^) dans laquelle on aura changé z en \z, X dési£;nant une fonction convenablement choisie de x et de y; et, si l'on néglige, comme nous lavons fait jusqu'ici, les changements qui résultent de cette substitution, on pourra dire que (El,) est l'adjointe de i^E/ 1. Cette remarque à peu près évidente conduit aux conséquences suivantes.

Supposons que la première suite se termine dans un sens, dans celui des indices positifs par exemple; soit (E/) la première équation dont l'invariant h est nul; il est clair que, parmi les équations d'indice négatif de la seconde suite, (El, ) sera la première dont l'invariant k sera nul; la seconde suite se terminera donc à (El,). On peut donc énoncer la proposition suivante :

gô LIVRE IV. — ClIAP. IV.

Quand l'une des deux suites de Laplace relatives à une équation et à son adjointe se termine dans un sens, l'autre se termine en sens contraire, et après un même nombre d'opérations; si donc la première suite se termine dans les deux sens, il en sera de même de la seconde, et il y aura autant d'équations d'indice positif dans l'une des suites que d'équations d'indice négatif dans l'autre (').

Nous allons nous attacher à cette dernière hypothèse et montrer comment, dans ce cas, on obtient effectivement l'intégrale de l'équation adjointe. Mais, pour résoudre cette question et celle qui la suivra, il est nécessaire que nous donnions des développements étendus sur l'équation adjointe de Lagrange relative à une équation linéaire d'ordre quelconque, mais contenant une seule variable indépendante. Ce sera l'objet du Chapitre suivant. Nous terminerons celui-ci en résumant les relations que nous avons mises en évidence entre une équation et son adjointe.

367. Nous présenterons d'abord quelques remarques sur la notion même d'intégrale générale. Etant donnée une équation aux dérivées partielles, il peut arriver, dans quelques cas spéciaux, que l'on ait des méthodes permettant d'obtenir une formule générale qui donne toutes les solutions de l'équation. C'est ainsi que, si l'on a à intégrer l'équation élémentaire

dx dy

on est assuré que toutes les solutions seront fournies par la formule

Plus généralement, si la méthode de Laplace, appliquée à ces équations linéaires que nous avons étudiées dans les Chapitres

(•) Un jeune géomètre, M. II. Liouville, qui a été conduit par ses recherches personnelles à la considération de l'équation adjointe, a établi ce théorème, comme nous le faisons ici, par l'emploi de nos invariants h et k. {Voir le Mémoire Sur les formes intégrables des équations linéaires du second ordre inséré au LVP Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, p. 6; 1887.)