Étant donnée l'équation linéaire du /i"''™^ ordre

(i) y( H 1 = À II — Xi II' — ).♦ it' -^ . . . — X„ a'"' = o,

où A, ).i, '/.-, A„ désignent des fonctions quelconques d'une

variable indépendante x, proposons-nous de déterminer toutes les fonctions v de x, telles que le produit

devienne la dérivée exacte d'une fonction linéaire de ii et de ses dérivées jusqu'à l'ordre n — i . Une suite d'intégrations par parties conduit à la formule

lvf{u)dx

r^ ddii') ,„ ,d"-UlnC)']

L dx <ir«-i J

,r d\,i-) ,rf"-'(X„p)i

lOO LIVRE IV. — CHAP. V.

Si donc on définit les fonctions nouvelles |jl, |j.,, . , . , ^-n et le polynôme ^(t^) par la relation

(3) . dil^v) (P(l,v) ^ d"a„v)

' dx dx-^ •••-^\ ) ^j^.n '

il faudra que l'on ait

Car il n'existe, évidemment, aucune fonction de u et de ses dérivées dont la dérivé^ puisse se réduire à u g[ç)^ lorsque g{v) est différent de zéro. L'équation (4) a été considérée pour la première fois par Lagrange M : on l'appelle aujourd'hui l'acZ/'om^e de la proposée-, nous dirons aussi que g{v) est le polynôme adjoint à /(li)- On voit que toute solution particulière de l'équation adjointe fournit une intégrale première de l'équation proposée sous la forme

(5) W{u, i>) ^ const., OÙ l'on a posé, pour abréger,

dx

" L^'^^- dx ^■■

dn-Hl„ç)l ' dx'^-^

Si l'on adopte les notations précédentes, l'équation (i) s'écrit comme il suit

(;) J[^-A^) - « ffi^)] dx = ^F(«, o;

et, par suite, le binôme vf{u) — u g{v) est une dérivée exacte pour toutes les formes possibles données aux fonctions u et v (-).

(') Lagrange, Solution de différents problèmes de Calcul intégral {Miscellanea Taurinensia, t. III; 1762-1765. Œuvres complètes, t. I; p. 47i)-

(") La forme bilinéaire ^'{u, v) se prcîsenle au début des belles recherches de M. Halphen sur les équations linéaires. Voir en particulier le Mémoire sur un problème concernant les équations différentielles linéaires {Journal de M. Jordan, t. I, p. 11; i885). Olto Hesse l'a aussi considérée dans un Mémoire que nous citerons plus loin.

l'équation adjointe de lagrange. ioi

369. Réciproquement, étant donnée la fonction linéaire f{u) de u et de ses dérivées jusqu'à l'ordre /?, si l'on se propose de déterminer une fonction semblable o(m) par la condition que

soit une dérivée exactje pour toutes les formes possibles de u et de (', on devra avoir nécessairement

Ecrivons, en effet, l'équation

[p/(k)— Mç(f)]rfj-^To(«,^-).

qui exprime la propriété par laquelle on veut déterminer '^(m); si on la retranche de l'équation i "j), on aura

et, comme il n'existe aucune fonction de u et de ses dérivées dont

la dérivée contienne u seulement, il faudra nécessairement que

l'on ait

Si l'on applique la proposition précédente à l'équation (-), en remarquant quey(a) et g(u) y entrent de la même manière, on conclura que la relation entre ces deux polvnômes est réciproque, c'est-à-dire que chacun d'eux est l'adjoint de l'autre.

Par conséquent, on pourra écrire la relation

tout à fait analogue à l'équation (3). Cliacune des identités (3) et (8) peut être considérée comme une conséquence de l'autre; nous avons déjà fait usage de cette remarque au Chapitre II [p. 4']-

370. Lagrange a déjà montré comment la résolution complète ou partielle de Téquallon adjointe permet de simplifier la résolution de l'équation proposée. Nous ne reviendrons pas sur ce sujet; mais,

102 LIVRE IV. — CIIAP. V.

en vue des applications qui vont suivre, nous étudierons d'une manière approfondie les relations entre toutes les solutions de l'équation proposée (i) et celles de l'équation adjointe (4).

Considérons un système fondamental d'intégrales particulières

de l'équation proposée, c'est-à-dire un système pour lequel le déterminant

ne soit pas nul. On formera sans difficulté une fonction linéaire ^i(ii) de u et de ses dérivées jusqu'à l'ordre n — i, s'annulant lorsqu'on y remplace u par une solution particulière autre que Ui et devenant égale à i lorsqu'on y remplace u par iii : cette fonction a pour expression

au',-

A étant le déterminant déjà défini. L'équation

G/(m) = const.

est une des intégrales premières de l'équation proposée; le premier membre se réduit, en effet, à la constante C, quand on y remplace u par

Lii U\ -t- L<2 ^2 ~'~ • • • ^~ ^/i ^11'

L'équation

dx

est donc équivalente à la proposée, et la comparaison des coefficients de la plus haute dérivée w^"^ dans les deux équations nous conduit à l'identité

(II

Vi ayant pour valeur

dx

I (JloffA

^« âu'-i

l'équation adjointe de lagrange. io3

Le produit Vif{u) étant une dérivée exacte, vi est une solution particulière de l'équation adjointe. En donnant à lïndice i toutes les valeurs, on formera ainsi un système

Vu Vi, .... Va

de n solutions de l'équation adjointe, que l'on reconnaîtra aisément être linéairement indépendantes; ce point résultera d'ailleurs de la suite des raisonnements. Nous dirons que les solutions Vi sont les adjointes des solutions iii, et nous allons étudier les relations entre ces deux groupes de solutions.

Si l'on se reporte d'abord à l'équation (i i), en la comparant à la formule (7), on reconnaît que l'on a

Qi(u) = W(u,Vi),

et il suit de la définition des fonctions ^i(u) que l'on a

(l3) W( II,; Vi) = I , W(Ui, Vji.) = G.

Ces relations très importantes contiennent les coefficients de l'équation proposée; les suivantes ont lieu seulement entre les intégrales ?//, vi.

L'expression (12) des fonctions ç'j et les propriétés élémentaires des déterminants montrent que 1 on aura

^1 «i — ViUi — ... — Vn Un = O, Vi u\ — t'î Mj — . . . -r- V„ u'a = O, •>

vi «(«-*) -T- Vi a'j''-2' — . . .— t-,, «=„"-*' = o,

De ces relations on déduira les suivantes, par des différentialions répétées,

- ~*/ "i (Il (ti . ii\..,L-\ . . ..fil .. 1*1 ^ '' i ^^ /^ ^= fi I,

Ces formules permettent évidemment de déterminer les solu-

lions Ui en fonction des solutions vi] et, si l'on pose

on obtiendra les expressions suivantes

Ui —

/-« dv\

toutes pareilles à celles qui déterminent les çi au moyen des ui. On a d'ailleurs

(iS)