PROGRESSIONS ARITHMETIQUES ET GÉOMÉTRIQUES. SOMMATION DES TERMES
! Voyez la première partie du n* 183 au n*" 199. ^ CE qu'on appelle série, convergence et divergence*
33. On appelle série , en mathématique , une suite indéi finie de quantités qui se déduisent les imes des autres, '' soivaDt une loi déterminée. Ces quantités sont les termes de la série.
Lorsque la somme des termes de la série tend vers une ' Gmite finie et déterminée , on dit que la série est couver- )m(e. Dans le cas contraire , on dit qu'elle est divergente. lions désignerons les termes successifs d'une série par
«0» ^17 ^ty «<s^
^ par S. la somme des n premiers termes :
S, = t<p + Wj + tt,+ +tt«-f
Si la somme des n premiers termes tend vers une finie S, lorsqu'on prend un nombre de termes de p plus grand » la série est convergente ; sinon , elle est gente.
Il importe de bien préciser la définition des série vergentes. Quand on dit que la somme des termes d( rie tend vers une limite finie et déterminée S, cela g que Ton peut prendre n assez grand pour que la soti des n premiers termes , et chacune des sommes su
Sn+, , Sn+j , , diffère de la limite S d'une q
moindre qu'une quantité donnée , si petite qu'elle se
UJVE PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE EST CONVERGENTE, RAISON EST PLUS PETITE QUE L* UNITÉ ; DIVERGENTE, RAISON EST PLUS GRANDE QUE l'uNITÉ.
24. La progression géométrique, prolongée à I nous donne un premier exemple de série. Soit a le p terme , r la raison ; la série s'écrit
a, aVf ar^y ar\
La loi de formation de la série est très-simple ; on chaque terme du précédent en le multipliant par un t constant r.
Si la raison r, en valeur absolue , est plus gran< Tuniié, les termes de la série vont en augmentant in ment; il est clair que, dans ce cas, la somme des ne peut tendre vers une limite déterminée ; la série vergente.
Si la raison , en valeur absolue , est plus petite que 1 les termes de la série diminuent indéfiniment, de n à devenir plus petits que toute quantité donnéet
iv(»ss trouvé pour la somme des n premiers termes (I** parie, n* 199) ,
bn — •
S Ton prend un nombre de termes de plus en plus grand,
a quantité devenant plus petite que toute quantité
lonnée, on voit que la somme des termes tend vers une imite finie et déterminée
insiv dao&ce <^^9 la série est converg^te; cette limite
û ■~ est ce que Ton appelle la somme des termes de la
Srie.
Qai&d la raison r est positive , ainsi que le premier terme * tous les termes étant positifs , la somme des termes va )DStamment en augmentant à mesure qu'on en prend un mbre plus grand , et elle se rapproche de plus en plus i la limite S. Quand la raison est négative , la somme est temativement plus grande et plus petite que la limite S , Kit elle se rapproche en oscillant de part et d'autre {voyez Impartie, nM 99).
s TERMES d'une SÉRIE PEUVENT DÉCROÎTRE INDÉFINIMENT SANS QUE LA SÉRIE SOIT CONVERGENTE.
25. Une première condition nécessaire pour qu'une série it Convergente , c'est que ses termes tendent vers zéro, vais faire voir, en effet , que , dans toute série con ver- Qte, on peut prendre n assez grand pour que le terme et chacun des termes suivants Wn+i, Un^^y soit plus
petit qu'une quantité donnée a, si petite qu'elle soit. Puisque la série est convergente, on peut prendre n assez grand pour que chacune des sommes
diffère de la limite S d'une quantité moindre que-. Les deux sommes Sn et S^^j, différant de la limite S d'une
quantité moindre que - , diffèrent entre elles d'une quan-
tité moindre que a ; mais la différence de ces deux sommes est le terme u„ de la série ; on en conclut que ce terme u» est plus petit que a. De même, les deux sommes S^, et S^^j, différant de la limite S d'une quantité moindre que
- , leur différence, c'est-à-dire le terme u^^^ de la série,
est moindre que «, et ainsi de suite. Ainsi chacun des termes
^n y ^nrhi } ^n+j »
est moindre que la quantité donnée «, ce qu'on exprime en disant que les termes de la série tendent vers zéro.
C'est ce qui a lieu dans la progression géométrique décroissante; ses termes deviennent en effet plus petits que toute quantité donnée.
Mais cette condition n'est pas suffisante; les termes
d'une série peuvent tendre vers zéro sans que la série soit convergente. Un exemple très-simple mettra cette proposition en évidence. Considérons la série
formée de fractions ayant pour numérateurs l'unité, et pour
SÉBIES. 29
»minateurs les nombres entiers consécutifs; le terme rai - tend vers zéro , et cependant la série est diver-
ti
enons, en effet, le troisième et le quatrième terme
mplaçons v par la quantité plus petite y , nous auo 4
simplement
enons maintenant les quatre termes suivants
mplaçons chacun des trois premiers par la quantité petite ô 9 nous aurons
i prenant de même les huit termes suivants, et rem-
mt cbacim d'eux par 77-, on aurait
Il i' B 1
Qsi de suite indéfiniment. Nous formons ainsi une infi-
de groupes dont chacun est plus grand ([ue - ; donc la
Ce théorème nous indique le moyen que Ton emploie pour reconnaître si une série est convergente ; on compose la série proposée à une aaixe déj<\ connue et que Ton sait être convergente. La progression géométrique décroissante étant la seule série convergente que nous connaissons jusqu'à présent , c'est aux progressions géométriques que nous comparerons les séries.
29. Théorème III. Lorsqu*à partir d'un certain rang k rapport d'un terme au précédent est comtammmt inférieur à un notnbre déterminé plus petit que V unité, la série est convergente.
Supposons qu'à partir du terme de rang n, le reftpari d'un terme au précédent reste constamment inférieur à an nombre déterminé k plus petit que l'unité ; je dis que la série est convergente. Faisons abstraction des n premiers termes dont la somme a une valeur finie et bien détermioée et considérons la série
formée par les termes suivants.
On a
De la première inégalité on déduit
»nde donne
Ton remplace le terme w„+i par la quantité plus kuny on a à fortiori
luit de même de la troisième
remplaçant t(„.j par la quantité plus grande k*ti,.,
â de suite.
îsulte de là que les termes de la série
espectivement moindres que Içs termes corresponde la progression géométrique décroissante
a raison k est inférieure à l'unité. En vertu du théo- ;)récédent, on conclut que la série est convergente. ;, par exemple, la série
pport du second terme au premier est -,dutroi-
au second = , du quatrième au troisième 7 , et ainsi 0 4
te; ce rapport étant constamment égal ou inférieur k série est convergente.
ik CHAPITRE 11.
Quand on prend les n premiers termes de la posée et qu'on néglige les suivants, Terreur con la limite de la somme des termes de la série (1) es que la limite de la somme des termes de la progrc
30. Corollaire. On facilite beaucoup Tapplicat théorèine par les considérations suivantes, Ordin^
rapport -^^^ d'un terme au précédent tend vers i
déterminée, que nous désignerons par X, lorsque n indéfiniment. Il y a trois cas à distinguer, suivant q mite X du rapport est inférieure, supérieure, ou égal< l*" X < 1 . Choisissons un nombre arbitraire m miné ft, compris entre i et X, c'est-à-dire plus
l'unité, mais plus grand que k. Le rapport -^^ ,
chant indéflniment de sa limite X, restera/; à partir tain rang, constamment inférieur au nombre k; vertu du théorème démontré, la série est converg
2* X > 1 . Le rapport -^^ , se rapprochant ini
de sa limite X, restera, à partir d'un certain rang jîient supérieur à T unité ^ les termes de la série i en augmentant indéfmiment et la série sera divei Soit, par exemple, la série
dont le terme de rang n est
k rapport de ce terme au précédent est
ce rapport a pour limite zéro, quand n augmente indéfiniment; donc la série est convergente, quelle que soit la valeur de x*
Si la valeur de x est plus granie que Tunité , les termes commencent par augmenter; mais à partir d'un certain rang plus on moins éloigné, ils vont en diminuant. Par
exemple , si a? = lo + -, les termes augmentent jusqu'au
dixième terme; mais au delà, le rapport devenant plus petit que l'unité , les termes diminuent. A partir du vingtième terme, les termes décroissent plus rapidement que les
tenues d'une progression géométrique dont la raison est -.
Considérons encore la série
^fà a pour terme général
^ rapport de ce terme au précédent est
X ou
^^Pour limite x, quand n augmente indéfiniment. Ainsi, ^^îe est convergente quand la valeur absolue de a? est P^^ petite que l'imité; divergente, quand elle est plus ^^^e que l'unité.
Si , par exemple , a? = i , i , les termes commencent croître à partir du onzième terme et croissent indéfinimei
8* X = 1 . Quand le rapport d'un terme au précède tend vers une limite égale à l'unité , il y a ambiguïté ; série est, tantôt convergente, tantôt divergente. Le théorèi précèdent est insuffisant pour décider la convergence de série ; il faut alors recourir à des moyens particuliers.
Exemples.
l*" Soit la série
Le rapport du terme général -'au précédent —
est ou 1 , et a pour limite l'unité. Cette se
est celle que nous avons étudiée au n* 25 ; à l'aide d groupement convenable des termes , nous avons recoi qu'elle est divergente.
T Soit la série
Le rapport d'un terme au précédent
a encore pour limite l'unité, et la question de converge reste indécise. Mais on peut démontrer aisément que série est convergente, en groupant les termes d'une man analogue à celle que nous avons employée dans l'exeu précédent. Prenons d'abord le second et le troisième
SÉHIËS. 37
mes , et remplaçons le troisième ^^ par une quantité plus
grande -, , nous aurons
Formons im second groupe avec les quatre termes suivants et remplaçons chacun d'eux par une quantité plus
grande ji , nous aurons de même
On formera le troisième groupe avec les huit termes suivants, en remplaçant chacun par le premier d'entre eux, ce qui donne
et ainsi de suite indéfiniment. On voit par là que la somme des termes de la série est plus petite que la somme des termes de la progression décroissante
Donc la série est convergente.
3° Soit la série
sj-x v'3 V4
Les termes de cette série étant respectivement plus grands qae ceux de la série divergente
la somme augmente à T infini , et la série est divergente.
le rapport d'un terme au précédent est ici alternat: - et =•; il ne tend pas vers une limite détermina
comme il ne surpasse pas la quantfté - qui est plu
que l'unité, la série est convergente.
11 n'est pas nécessaire pour la convergence des qu'à partir d'un certain rang le rapport d'un te précédent reste constamment inférieur à un nofti! plus petit que l'unité. Prenons comme exemple la p sion décroissante
dont nous permutons les termes deux à deux , ce qv la série
Le rapport d'un terme au précédent est ici alte ment 2 et~; il ne reste pas, à partir d'un certai; inférieiur à une Quantité moindre aue l'unité • et 00*
i SÉRIES. 99
mt periHfê ë$î convergente , si loh affëeie les termes de i^ qutkùnqUes i la série reste convergente!
Jus^'à présent nous n'avons considéré que des séries dont tous les termes sont positifs. Quand les termes sont affectés de signes différents , on examine si la série obtelue, en prenant tous les termes positivement, est convergente; alors on peut affirmer que la série proposée est aussi coDTergeùte. Parmi les n premiers termes de la série proposée, les uns sont positifs , les autres négatifs ; appelons P,la somme des termes positifs, Q^ celle des termes négatifs; nous aurons
Sn = Pn-Qn.
Mais si Ton prend tous les termes avec le signe -|-, la somme des n premiers termes devient égale à P„ + Qn ; cette somme totale conservant une valeur finie , les sommes partielles P^ et Q^ conservent aussi des valeurs finies et tendent vers des limites déterminées P et Q ; il est clair que leur différence S„ tend vers une limite égale à P — Q. Donc la série proposée est convergente.
Corollaire. Le théorème III peut être étendu aux séries dont les termes sont affectés de signes quelconques. Si à partir d'un certain rang, la valeur absolue du rapport d'un ^erme au précédent reste constamment inférieure à un nombre déterminé moindre que Tunité, la série est convergente. Et, en effet, nous savons que, dans ce cas, la série foTmée de tous les termes pris positivement est convergente; donc la série proposée est elle-même convergente.
Séries à termes alternativement positifs et négatifs,
33. Théorème V. Lorsque les termes (ïune série décroissant indéfiniment et sont alternativement positifs et négatifs » ** 9érie est convergente.
ko CHAPITRE II.
Parmi les séries dont les termes sont affectés de différents , il faut remarquer en particulier celles do termes sont alternativement positifs et négatifs. Soit
Wo — «i + «î — tt,+ . ....
une série de cette sorte ; lorsque les termes tenden zéro et en outre diminuent continuellement, de manié chacun soit plus petit que le précédent, on peut ai la convergence de la série.
Si Ton prend un, deux, trois, quatre, terme
obtient les sommes successives
Si = Wo,
S, = t/o— Wj,
Considérons d'abord les sommes composées d'un n( pair de termes ; on peut les écrire sous la forme
84 = ^ — wJ + K — w,).
en groupant les termes deux à deux par des parent im terme quelconque étant plus petit que le préc
r.hiiLr.iinp Hpq nflrpntli^QPQ n iinp vnlpnr nnQÎtîvp. ppaH'
âîes; car on a
S, = S, + tt„ S, = S, + î/,,
i on les écrit sous la forme suivante
S, = Ko — K — wj,
ivoit qu'elles vont en diminuant de plus en plus. On a ainsi deux séries de sommes, qui vont , les premières I augmentant, les secondes en diminuant. D'ailleurs chaque mme de la seconde série est plus grande que Tune quelconle de celles de la première série ; comparons, par exemple , i sommes S^ et S^, ; S, , étant plus grande que S„ qui est aie à S„ + u,j, est évidemment plus grande que S,,, in autre côté, la différence entre deux sommes conséives S^, S„+j, qui est le terme tin, devient aussi petite on veut. On en conclut que ces deux séries de sommes dent vers une même limite S , finie et déterminée. jes sommes successives , obtenues en prenant im nombre termes de plus en plus grand, sont alternativement } grandes et trop petites , et tendent vers la limite en illant en quelque sorte de part et d'autre. A limite S étant toujours comprise entre deux sommes sécutives S^ et S„^j , la différence entre la somme S„ et limite S est moindre que la différence entre les deux unes consécutives S„ et S„^j , c^st-à-dire moindre que «rme m„. Ainsi , quand on prend les n premiers termes la série, Terreur commise est moindre que le terme suiit u^ ; la sonune des termes négligés est ime fraction de terme ± u„ et a même signe que ce terme.
indéiinimeDt est convergente. Les sommes
sont alternativement trop grandes et trop ^petites. série converge très-lentement; car si l'on prend premiers termes , l'erreur étant moindre que le ter vant ou que j^ , on n'a qu'un chiffre décimal exact ; prend les cent premiers termes, on a une approi de ^, ou deux chiffres exacts; etc.
Nous avons vu (n° 32) que, lorsque les terme série sont affectés de termes différents , si la série < obtient en prenant tous les termes positivement e vergente, la série proposée est aussi convergent cette condition n'est pas nécessaire. Ainsi la série
2* La série
converge beaucoup plus rapidement.
Si Ton prend les dix premiers termes, l'erreur commise étaot moindre que le terme suivant
= o,oooooooo3 ;
m a la somme par défaut avec huit décimales exactes. Si. Étude de la série
Les deux premiers termes donnent une somme égale à 2 . Les termes suivants sont respectivement moindres que les tenues de la progression géométrique
[oe Ton obtient en remplaçant chacun des facteurs 3,4)
) par un facteur plus petit 2, ce qui augmente les
nctions ; ainsi , d'après le théorème II , la série est conver- !eDle,et la somme des n premiers termes, abstration faite des ièu premiers, tend vers une limite moindre que la limite le la somme des termes de la progression , c'est-à-dire Qoindre que l'unité. La somme totale tend vers une limite omprise entre 2 et 3.
Cette limite est un nombre incommensurable. Suppo- >n8, en effet, qu'elle soit égale à une fraction ordinaire
' 9 on aurait
fl 1 1.2 1.2.d
i nous écrivons d'abord les n + 1 premiers termes» et si
hk CHAPITRE 11.
nous mettons les suivants sous la forme
