EXPOSANTS NÉGATIFS

Définition.

19. Nous savons que pour diviser l'une par l'autre de puissances d'un même nombre , il suffit de retrancher l'e posant du diviseur de l'exposant du dividende, lorsque Ye posant du diviseur est plus petit que celui du dividende.

Si Ton applique la même règle lorsque l'exposant c diviseur. est plus grand que celui du dividende, on ol

tient im exposant négatif. Soit le quotient ~ ; l'exposant c

diviseur étant plus grand que celui du dividende , la di^ sion est impossible; mais, si l'on applique la règle énonc plus haut, on est conduit au symbole a '; le quotient pf

KXPOâANTS MÉGATJirS. 21

po9é, simplifié, devient -y; ainsi le symbole a-' peut être

adopté comme représentant le quotient -j.

En général , on est convenu de représenter le quotient

-, dans lequel l'exposant m est quelconque, entier ou

fractionnaire, par le symbole a*". L'exposant négatif remplace sdnsi le signe de la division.

Calcul des exposants négatifs.

Nous allons faire voir que les règles établies précédemment pour le calcul des exposants positifs s'étendent aux exposants natifs.

20. Multiplication^ Pour multiplier deux puissances d'un même nombre, il suffit d'ajouter algébriquement les exposants, quels que soient ces exposants, positifs ou négatifs.

1* Considérons d'abord le cas où l'un des exposants est poâtif , l'autre négatif. Soit à multiplier à"* par a"" (m et » étant deux nombres positifs quelconques, entiers ou frac- ^Humaires, ou même incommensurables) ; puisque a ** par

convention représente -;, on a

^ le quotient — est représenté dans tous les cas , que

^ soit plus grand ou plus petit que n , par le symbole «*^; donc

22 CHÀ)PlTltE I.

L'expodaat du i^roduit est la somme algébiî^ exposants.

2^ Supposons miiateaaiit les deux exposiMB Soit à multiplier a"** par a"^. Puisque les sym

ar^ désignent les ({uotients -^ et -^ , on a

Mais cette dernière expression est représentée ou ar^"^. On a donc

a-*Xtf^=tf"^'*^.

L'exposant du produit est encore la somme aJg exposants*

2» «-•xa* =«^,

21. Division. La règle de la multiplication et aux exposants négatifs, celle de la division Y( même. Pour diviser Tune par l'autre deux puisa conques d'un même nombre , il suffit de retrai briqueœent l'exposant du diviseur de celui du car, en multipliant le quotient ainsi oLtonu par on reproduit le dividende. Remarquons que c à transformer le diviseur en multiplicateur par ment de signe de son exposant.

EXPOSANTS IfÉiUTIPS. t8

Exemples.

or* a-*

22. IHiifMitictf* Pour élever un nombre à dent puissances soccessives , il suflSt de multiplier entre eux les deux exposants , quels que soient leurs signes.

l' Considérons d'abord le cas où le premier exposant est négatif, le second positif* Soit Texpression {ar^)\ Pmsque

û"* représente —, on a

2Wis ce résultat peut être représenté p^r a"^* ; donc

2" Supposons le premier exposant positif, le s^eottd ne- 8^. Soit l'expression (a*")'"; par convention, cette expiBsdon représente le quotient

(a") îïi est égal à 4s» et qui peut être représenté par a"".

2à CHÀPITRS 1.

Donc

k-mn

S"" Supposons enfin les deux exposants négatil pression (a**)"" représente le quotient

(ar^f

donc

Ainsi I dans tous les cas , l'exposant du résulta produit algébrique des deux exposants , conformén règle des signes.

Exemples.

Tout ce que nous avons dit sur le calcul des e: fractionnaires et négatifs, peut se résumer en deu fondamentales :

m et n désignant des exposants quelconques , en fractionnaires , positifs ou négatifs.

\ CHAPITRE lï.

i DES PROGRESSIONS ET DES SERIES EN GÉNÉRAL