n — l)»W = N +1 —. h 7 ; TT
' tn+1 • (n+i)(n + 2) La quantité entre parenthèse est une fraction moii que l'unité ; car ses termes sont respectivement moiiw que ceux de la progression
obtenue en remplaçant chacun des facteurs n+2 , n+î par le facteur plus petit n + i > ce qui augmente chac des fractions; la somme des termes de cette progrès
étant égale à -, la quantité entre parenthèse est moir
que - ; c'est donc une fraction proprement dite. On ai
donc, dans l'égalité précédente, un nombre entier ég un nombre fractionnaire, ce qui est impossible. Ainsi limite vers laquelle tend la somme des termes de la s proposée est un nombre incommensurable compris enti et 5 ; ce nombre joue un grand rôle en mathématiques: le désigne par la lettre e.
Appelons R le reste de la série, ou Terreur commise luand OD prend, les n + i premiers termes »
la parenthèse étant moindre que - , d'après ce qui vient
cl'être dit , on a
Ainsi , quand on prend n + i termes , Terreur commise îst moindre que la n' partie du dernier terme calculé. Voici le calcul de e avec sept chiffres décimaux.
— ^ = o,i6GG GG67 1.2.3 ^
= ()^oo83 3355
l«JS.....d
-=o.ooi3 8880
= 0,0000 ooo5
hô CHAPITRE II.
Les termes se déduisent les uns des autres pordivisioBf successives. Nous avons pris les douze premi^*s tennei; les trois premiers sont exacts , et nous avons calculé kft autres avec huit décimales, par défaut ou par excès, de manière que l'erreur commise sûr chacun d'eux soit moindre qu'une demi-unité du huitième ordre déciinal ; sii ont été calculés par excès, trois par défaut. D'ailleurs la sonune des termes négligés est moindre que la 1 1 • partie du dernier terme calculé, et par conséquent moindre aussi qu'une demi-imité du huitième ordre décimal. Pour corriger h somme obtenue , il faudrait donc la diminuer d'une quantité plus petite que 5 unités du huitième ordre décimal, et l'augmenter d'une quantité plus petite que 2 imités dn môme ordre , ce qui donne
On a ainsi , par défaut, avec sept décimales exactes,
Théorème général.
35. Tous les théorèmes que nous avons démontrés surb convergence des séries sont compris dans un théorème général qu'il est bon de connaître.
Théorème VI. Pour quune série soit convergente ^ ilf^ nécessaire et il suffit que Von puisse rendre n assez jffl»^ pour que la somme d'un nombre quelconque de termes m^^ infini à la suite des n premiers soil moindre qu*une quanti^ donnée.
Soit la série
Htm ayons désigné par S„ la somme des n premiers srmes,
lenons à la suite un nombre quelconque m de termes et Ipekms s leur somme
1 ijoatant cette somme < à la première somme S^ , nous rtiendrons la somme S^+n, des n-i-m premiers termes de Btriè. Or, si la série est convergente , on peut prendre n M grand pour que la somme Sn et la somme S^^^ diffè-
lotde la limite S d'une quantité moindre que -, et par
)D96quent diffèrent entre elles d'une quantité moindre que ; la somme $ des m termes pris à la suite des n premiers 8t donc moindre que a , et cela est vrai si grand que soit i. Ainsi, dans une série convergente, on peut prendre n isez grand pour qu'un nombre quelconque de termes, iime infini , pris à la suite des n premiers , aient une Hune moindre qu'une quantité donnée , si petite qu'elle
Ht.
La réciproque est vraie : lorsque cette condition est remlie,la série est convergente. Eu effet, prenons n tel que • somme d'un nombre quelconque de termes à la suite des premiers soit moindre que « en valeur absolue ; il est clair ne toutes les sonunes
^n+ii ^n+J » ^n-H>
ri se composent des n premiers termes , plus un , deux , ois, ... , termes à la suite, seront comprises entre S^ — « S, -fa. Prenons maintenant un nombre plus grand que n', I que la sonune d'un nombre quelconque de termes à la
A8 CHAPITUfi II.
suite des n! premiers soit moindre que la quantité petite que a; les sommes
Sn'+i, Sn'+i, Sn'+s,
seront de même comprises entre S,f — «' et S»r4 général, la quantité S»r — »' sera plus grande que ; la quantité S»f + *' pl^ petite que S^ + * ; ^t; l'on au resserré l'intervalle qui comprend toutes les somn vantes. On pourra encore le resserrer davantage et qu'on voudra , ce qui montre bien clairement Teusl limite vers laquelle tend la somme des termes de 1 Il pourrait arriver cependant que la quantité S^ plus grande que S^-fa; mais, comme on sait
sommes S»'+i, S|,/^.s, sont plus petites que S„-
conserverait cette dernière quantité et l'on dirait sommes sont comprises entre Sn' — «' et S« + a. Il ] arriver de môme que la quantité S»' — «' fût plus pe Sn — a : dans ce cas , on dirait que les sommes so prises entre S^ — a et 8»^ + «'. Dans tous les cas, formé, dans le premier intervalle 2a, un second in plus petit que le premier et comprenant toutes les suivantes. Dans le second, on en formera un ti encore plus petit , et ainsi de suite, ce qui conduit n< rement à une limite.
