Nous avons dit (1'^ partie, n"" l&O) que Ton appelle

lantité imaginaire une expression de la forme a+b ^ — i

: de la forme a + bi (la lettre t étant adoptée pour dési-

er le symbole ^ — i), dans laquelle les lettres a et 6

irésentent des quantités réelles quelconques positives ou

gatives. On a étendu aux quantités imaginaires les règles

linaires du calcul algébrique, comme si la lettre i dési-

ait une quantité réelle, en convenant de remplacer dans

(résultats t* par — i.

D'iqprès cette convention , commençons par former les

issances successives de î. On a d'abord t* = — i . La

tisiëme puissance i* étant égale à la deuxième i* multiplié

r i, il vient

i» = t«xt = — ixi= — t.

i quatrième étant égale à la troisième multipliée par î, on de même

f*=t»xt=— îXî=-t*=— (— 0 = +w ainsi de suite

i» = i^Xi=i,

iQ (dytient de la sorte la série des puissances

La quatrième puissance t^ étant égale à t% il est clair ( les mêmes résultats se reproduisent périodiquement d en 4« et Ton a en général

Les puissanceB paires sont réelles, les puissances impa imaginaires.

52. Si, d'après la convention générale sur le calcul quantités imaginaires , on applique la formule du bin au développement de (a + W)"*» ^^ *

En remplaçant les puissances successives de t par hs leurs trouvées précédemment, il vient

. tw ,,. mlm — i) .^4,, = «•• + - û"-*ôt ^--^ — ■' «•-**•

(a + il)

les termes sont alternativement réels et imaginaires. ! nissons enfin les termes réels et les tçrmes imagina nous aurons

+ \ma'*''''b ^ ^-^ U'»-W+ I

Dans chaque parenthèse les termes sont alternative positifs et négatifs. Si Ton désigne par A et iJ les va de ces deux parenthèses, on voit ([ue le dévelopjîeme (a + 6t)"* est une quantité imaginaire de la forme ordi A + Bt.

FORMULB DU BINÔME. 71

dair ({ue le développement de (a — Ai)** ne diffère de (a + 6î)* qu'en ce que le signe de t est changé, ons trouvé

oUe

(a — W)- = A — Bt. AppUcationê, f t)*sBi-}-5t — 10 — iot-|-5 4-«=**-4— 4t.

-iy=-4+4«.

f «•)• = 3« 4- 6.3».« — i5.3*.a»— »o.3».2V+ i5.5V 6.3.a»i — a* =— ao35 — 8a8i.

-a»y=: — ao55 + 8a8t.

B VERS LAQUELLE TEND {>+"') » QUAND m CBOÎT DE TOUTE LDOTE.

^ous allons d'abord démontrer deux lemmes qui rviront dans la question proposée, s I. La limite de la somme d'tin nombre fini de gran- \riables est égale à la somme de leurs limites. Soient I.....L, m grandeurs variables qui tendent simol*-

rt vers les limites a, 6, c, /. Si l'on appelle

•••M^f les différences des grandeurs proposées à lites, on a

tionnant ces égalités et désignant par S la somme

72 CHAPifriiE m.

des grandeurs variables et par s celle des limiU

Appelons p la plus grande des différences «, valeur absolue ; leur somme sera moindre que nombre m restant fini, et la quantité p devenas Ute que toute quantité donnée, puisque toute rences tendent vers zéro , le produit mp dévie plus petit que toute quantité donnée ; donc la son vers la limiter.

Lemme il Aa limile du produit d*un nombre teurs variables est égal au produit de leurs limites

En conservant les mêmes notations que préo nous avons les différences

Multiplions les deux membres de la première <

BG L, ceux de la seconde par aC L, 1

par a6D....,L, , enfin de la dernière par 6

qui donne

ABC L — oBC L = aBC L,

aBC L—abC L = paG L,

abC L — abcD L = aiD L,

û4c kL — abc kl = ^ab k.

Si l'on ajoute toutes ces égalités, on voit que le

FORMULB PU BINÔME. 78

iotermédiairea se détruisent; il vient

ABC.... J.— abc / = aBC L + PûG L+

Ghaeun des produits *BG L, aC.oL, , conservant

une valeur finie, on voit que le second membre est la somme le II quantités qui tendent vers zéro ; donc leur sooune tend

roBiéro, et le produit ABC L a pour limite abc /•

Hais il est nécessaire, pour que ces propriétés sub&dsient, pe le nombre des parties de la somme, ou le nombre des feteurs du prodmt, soit fini. Soit, par exemple, la somme des m quantités

chacune d'elles tend vers zéro quand m augmente indéfiniinent; mais le nombre des parties devenant infiniment pioid, on ne peut plus dire que la limite de la somme est a somme des limites, ce qui donnerait ici zéro ; et en efiet iette somme est égale à a.

De même Fezpression (»+--) désigne le produit de

n facteurs égaux à i H — ; chacun de ces facteurs devient

sgal à l'unité quand m augmente indéfiniment; la limite du produit n'est pas égale au produit des Umites, c'est-à-dire L l'unité, parce que le nombre des facteurs devient infmi. ^est cette limite que nous nous proposons de déterminer.

64. En développant la puissance ( i H — ] par la for- Qule du binôme, il vient ^ i\** m 1 , m{m—i) j m(m — i) wir-3) i ,

, m(m — i) (m — n-fO i ,

y- m) . y-mjK