FORMULE DU BINÔME

Le développement contenant un nombre impair de termes , k dernier a le signe + et les termes qui ont même coeffiàeat sont affectés du même signe.

19. Rem ABQUE IV. Les coefUcimts vont en augmentant du tmmtneement jusqu^au milieu du développement et en dimimanî du milieu à la fin. En effet, le rapport du coeflBcient dan-f- 1' terme à celui du terme précédent est, conmie iHKis l'ayons dit,

Cm par ce nq>port que Ton multiplie le coefficient du a* tenue pour former celui du n + l' terme. Les coefficients îoil en croissant tant que ce multiplicateur reste supérieur if unité ; ils vont au contraire en décroissant quand ce multiplicateur devient inférieur à Funité. Posons donc

'— > if

^ itelyons cette inégalité par rapport à n, nous aurons

>« fraction — -^— désigne la moitié du nombre des termes

Xi développement ; ainsi les coefficients vont en croissant Lâsqu'au milieu. A partir du milieu, l'inégalité change de ^ns et les coefficients décroissent.

n y a deux cas à distinguer : !• lorsque m est pair , le Nombre des termes m -\- 1 est impair ; il y a au milieu un ^coefficient plus grand que tous les autres. Ainsi dans le développement de (x + a)*, dont nous n'écrivons ici que

les coefficients

1, 8| 2%, 56, ^o, 56, aS, 8, i,

le coefficient 70 est le plus grand ; 2" lorsque ni est impaii le nombre des termes est pair, il y au milieu deux coeffi cients égaux plus grands que tous les autres. Ainsi dans 1 développement de {x+ay^ dont les coefficients sont

les deux coefficients 35 du milieu sont les plus grands.

Ce qui précède donne une propriété des combinaison qu'il est bon de remarquer. On demande , par exemple, de quelle manière il faut combiner huit objets pour avoir le plus grand nombre de combinaisons. Il est clair (fti faut les combiner 4^4; car les coefficients du déyelof^ ment de (a?+ «)*i ^ partir du second, sont les nomlM de combinaisons que Ton peut former avec 8 objets, en les combinant iài,2à2, 5à3, etc... ; le plus grand coefficient étant le cinquième, il en résulte que le nombre des combinaisons des 8 objets 4^4 surpasse les autres noso* bres de combinaisons. De même, avec 7 objets, on obtient le plus grand nombre de combinaisons en les prenant 3 à 3 ou 4 à 4.

60. Remarque V. Si dans le développement de {x + a)' on fait a: = 1 et a = 1 , chaque terme se réduit à son coefi cîent, et Ton a

Ainsi la somme des coefficients du développement est ég3 H 2**.

En retranchant le premier coefficient qui ne désigne J} un nombre de combinaisons, on en conclut que le lïomX

FORMULE UU BIflâlIB. 09

ital des combinaisons que Ton peut faire avec m objets, 1 les prenant de toutes les manières possibles, est 2*" — i ,

c:l+c:.+ci +c:=a--i.

DÉYELOPPEMErrr DE (ù + b^ — l)*.