FORMULE DU BINOME
inée qui ne peut surpasser le nombre e. Nous allons dé- ODtrer que cette limite est le nombre e lui-même. Dans les deux expressions (1) et (2) prenons les n -|- > nniers termes et considérons les deux sommes
V tn) \ m) \ m )
1 clltO • • • •• fl
Nous pouvons rendre n assez grand pour que la soimne diffère de sa limite e d'une quantité moindre qu'une quan-
té donnée -• Ayant choisi le nombre n de cette manière
ikBons-le fixe , et donnons à m des valeurs plus grandes ue n et de plus en plus grandes. La somme A augmente ; DDune elle contient un nombre fini de termes, savoir n+ 1 , i limite de cette somme , en vertu du lemme 1 , est égale à 1 0OBime des limites de ses différents termes. Le numérasur du troisième terme a évidemment pour limite l'unité ; 6 même celui du quatrième. En général , le numérateur 'un terme quelconque étant le produit d'un nombre fini é factews dont chacun se réduit à l'unité , a pour limite, n vertu du lemme II , le produit des Umites de ces difféents facteurs, c'est-à-dire l'unité. Ainsi, quand m augftBDte indéfiniment , la somme A tend vers une limite égale > la somme E. On conçoit donc que l'on puisse prendre m issez grand pour que la somme A diffère de sa limite E
l'une quantité moindre que -• On a alors
rk.
La quantité (^ + —) étant plus petite que e, ma grande que A, on a, à plœ forte raison,
Puisque l'on peut rendre m assez grand pour que la
de ( 1 H — j diffère du nombre e d'une quantité i
qu'une quantité donnée a , si petite qu'eUe soit , il ( que ce nombre e est la limite vers laquelle tend la
de ( 1 ^ — j , quand m augmente indéfiniment
55. L'expression (i +«)* tend vers la même quand « tend vers zéro. Ceci est évident , si la <
très-petite « est une fraction de la forme — • m é
nom^i^re entier très-grand; car, dans ce cas, l'ez] ( 1 + a)* devient ( * + --) •
FOHMtLB DU BINÔME. 77
j L-(qHie«>titii»-grana8eraaloncompib
f nombres entiers consécutifs m et m+ i, de manière que
l'on ait
ot
s dans Texpression proposée (i -{- a)" on remplace la quantité i + « par la quantité plus grande i -{ — et l'exposant - par l'exposant plus grand m + 1 , on augmente la
Talenr de l'expression , et l'on a
.1 / j\llH-l
An omtraire, si l'on remplace la quantité i + ^ P&i* 1& quantité plus petite i ^ -^ et l'exposant - par l'exposant plus petit m , on diminue la valeur de l'expression , et l'on a
(•+-r>('+;;rFT)'
On obtient ainsi les inégalités
(■ + ;ri:T)" <(■ + •!' <(■ + =)
^) par des transformatipns convenables, ' + ^377
78 CHAPITRE m.
Lonqoela i^miitlé m tead fera téro^ le WHi^rt
a^gmeole indéfiniment; Chacune des qtumtttM /
( 1 A ; — .) tend vers la limite e; d'aillei
viseur i H -p— , de même que le multiplicate
devient égal à l'unité. Les deux quantités extrême
ainsi vers la même limite e; donc la quantité (i est comprise entre elles , tend ainsi nécessaire cette même limite.
Nous avons supposé dans ce qui précède la qm sitive, supposons-la maintenant négative; en :
signe en évidence, on a à considérer l'expression La quantité i — « moindre que l'unité peut se n
la forme , , q^ étant une quantité positive. 1
on déduit
et, en substituant,
Quand a' tend vers zéro, la quantité (i + «')*' te tandis que le multiplicatem* i + a! tend vers Tu
la quantité (i — a) * a pour limite e.
PtLBS DE BOULETS. 79
JL
i, quel que «ùt le sigoe de a, l'expresaÎQii (i + «)* an une limite égale h «, qaand « tend Ytn wbn.
