SOMMATION DES PILES DE BOULETS

Pyramide à base carrée.

CoDÙdérons une pyramide ayant pour base un carré

POoletB an cAté ; sur la base est placé un antre carré

ayant m — i boulets an cAté , et ainsi

! de smte jusqu'au sommet formé d'un

! seul boulet. Le nombre des boulets con-

ï tenus dans chaque tranche étant un

i carré partit le nombre total des btru-

' lets contenus dans la pyramide est la

des carrés des m piemiers nombres entiers.

i une manière très-simple d'obtenir cette somnie. Si

égaUté

{m+ i)» = ni* + 5m' + !hil+i,

me à m successivement les m valeurs i(3, 3^. ...m,

(m + 0' ^ m* + 3jn* + 3m + J »

lant la somme et supprimant les nombres 3*, 9*,...., li se trouvent dans les deux membres, on obUent té

Si, pour simplifier, on désigne, par S^ la son m premiers nombres entiers, et par S,^ la soi leurs carrés, cette égalité s'écrit

(m + i)'=i + 3(S. + S.) + m; d'où

3(S, + 8J = (m + i)' — (m+i) = (m+i)(mM

= fn{m + I ) (m + a).

La somme des m premiers nombres entiers étant l des termes d'une progression arithmétique, on a

S __ni(m+i)^

Si l'on remplace S^ par sa valeur, il vient

d'où

Telle est la formule qui donne le nombre des bou tenus dans la pyramide à base carrée. Par ezei m = 10, on trouve S, = 385.

Pyramide triangulaire*

57, Une pile de boulets triangulaire a pour triangle équilatéral ayant m boulets de côté ; sui est placé un autre triangle ayant m — i boulets sur celui-ci un tiîangle ayant m — a boulets de ainsi de suite jusqu'au sommet qui est formé d boulet.