OT
L*exposant x—x' est le logarithme du quotient ^. Donc
log^ = logy — logy*.
73. Théorème III. le logarithme de la puissaniu d'un nombre égale le logarithme de ce nombre multiplié par TtAdice de la puissance.
Si l'on élève à là m' puissance (m étant un nombre quelconque, entier ou fractionnaire, positif ou négatif], les deux membres de l'égalité
il vient
Donc
•og(r) =
= m log y.
7A. Théorème IV. Le logarithme de la racine d'un nomir^ égale le iogariti.me de ce nombre , divisé par f indice it ^ racine.
Ce théorème n'est qu'un cas particulier du théorème prè-
cèdent; cai- \fy s'écrit y**, et 'on a
L'emploi des logarithmes simplifie beaticoup led talcals numériques ; car la multiplication est remplacée par lU^ addition, la division par une soustraction, l'élévation à «i» puissance par une multiplication , l'extraction d'une racine par une division.
LOGAaiTHMEë. M
tjfik DES NOMBBlSS SOtfT EN ^BOGRESSION GÊodÊTBlQUE , Jte UdGAftltHlllS SOl^ iSN tàoGRES^Olf ÀÉITHlIÉTlQtJE;
K Si l'on prend les logarithmes des termes d'une pro- Aùù iJéoiliiitrique
a: ariat''* : ar*: f
: la raison est r» on forme évidemment une progression imétiqué
a . loga 4~ "ogr . loga 4- 9 log r . logd -|* 3 log r
it pour raison log r.
Q arithmétique, on a coutume de définir les loga- (héâ par dèttjk pHigtessions, l'une gëométriqtté cotniUeb- ; par Funité, l'autre arithmétique commençant par
o • 6 • a6 . Si • .
'on i^^pelle logarithme d'un terme quelconque de la (rcMoii géométrique le terme correspdndaîit de lit ptolUtfd ftrithmétiqtiè ; afin d' avoir les logarithmes âè tous UbÉiiMes aVec une grande approximation , ôil ihsère un nd nombre de moyens entre deux termes coUSétttdfS de irogression géométrique, et le même nombre de moyens re deux termes consécutifs de la progression aritiimélé. li est aisé de voir que cette définition des logarithmes les progressions revient à la définition que nous venofos loîiner par les exponentielles.
km^dérons les deux progressions
I ,: a : a* : tt' :
Si l'on insère n — i moyens entre deux termes consécutife des deux progressions , la raison dç la progression géométrique devient ya ou a^y celle de la progression aritbmétique - , en sorte que les deux progressions ainsi développées s'écrivent
lis
Sous cette forme , on voit qu'un nombre quelconque a" de la progression géométrique a pour logarithme rexposant-
Vf
de la puissance à laquelle il faut élever le nombre constant a pour avoir le nombre proposé. La base a d'un système de logarithmes est le nombre qui a pour logarithme l'unité.
COMMENT ON PASSE d'UN SYSTÈME DE LOGARITHMES A UH AUTRE SYSTÈME. LOGARITHMES NÉPÉRIENS. LOGARITHlfES VULGAIRES. CE QU'ON APPELLE MODULE d'UN STSTÈiE tf LOGARITHMES.
76. La base d'un système de logarithmes est un nombre positif constant, que l'on peut choisir à volonté. Supposons que l'on ait calculé les logarithmes des nombres dans le système dont la base est a, et que l'on veuille les calculer dans un autre système ayant pour base a'. Appelons x le logarithme d'un nombre quelconque y dans le premier système, x' le logarithme du même nombre dans le second système, on aura *
oà
renoDs les logarithmes des deux membres de cette égalité ms le premier système , en remarquant que le logarithme i a est l'unité , il vient
X = j/ log a', où
Ainsi les logarithmes des mêmes nombres dans les deux ^sternes sont proportionnels, et Ton a la règle suivante : mr passer d^un système de logarithmes à un autre ^ il ifU de multiplier les logarithmes du premier système par merse du logarithme de la nouvelle base pris dans le preûr système.
77. Les logarithmes ont été inventés au commencement Q XVII' siècle par l'Écossais Néper^ qui prit pour base le
ombre incommensurable e= 2,7182818 ; les loga-
thmes de ce système ont été appelés logarithmes hyperboliques y ou, du nom de Tinventeur, logarithmes népériens. e sont ceux-là qui se présentent naturellement dans l'ana- 1» mathématique ; on les désigne ordinairement par la ttre L.
Hais les logarithmes népériens ne sont pas commodes Qnr les calculs numériques, parce qu'ils ne sont pas en har- K)meavecnotrenumérationdécimale.C'estpourquoi^riSf(/5, ontemporain de Néper, proposa de remplacer la base e par ^base dix de notre système de numération. Ce sont les loarithmes de Briggs dont on fait habituellement usage dans
101 CHAPITRB IV.
les calculs numérique ; od les a pommés pour cette raison logarithmes vulgaires ; nous les désignerons par le signe iag, On appelle module d'un système de logariUunes le nombre constant par lequel il faut multiplier les logarithmes népériens pour avoir les logarithmes du système considéré. Soit a la base d'un système de logarithmes ; d'après ce qui a été dit précédemment , son module M sera
c'est-à-dire l'inverse du logarithme népérien de la base. Le
module des logarithmes vulgaires est M=:o,434&9448^.
Lorsqu'on passe d'un système dont la base est a à un système dont la base est a', le multiplicateur constant
j j s'appelle module relatif du premier système au «-
cond.*
78. Il est bon de faire voir pourquoi Néper a choisî le nombri» incommensurable e pour baae de son systèiofi de log^Mithmes. Cop^dérons 1^ deux progressions
