PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES LOGARITHMES

Définition.

70. On appelle logarithme d'un nombre l'exposant de la : puissance à laquelle il faut élever un nombre positif cod- ! stant a pour reproduire le nombre proposé.

Nous avons vu que, lorsque x croit d'une manière continue de — Qo à + cr>^l2L fonction a' passe par toutes te valeurs positives et ne passe qu' une fois par chacune d'dks; il en résulte que tous les nombres positifs ont des logarithmes, et que chacun d'eux n'a qu'un logarithme. Si k nombre constant a est supérieur à l'unité, les nombres plus grands que l'unité ont des logarithmes positifs, ^ nombres plus petits que l'unité des logarithmes négati& Si a était inférieur à l'unité, les nombres plus grands qtf l'unité auraient au contraire des logarithmes négatifs, b nombres plus petits que l'unité des logarithmes positifc Les nombres négatifs n'ont pas de l(^arithmes réels.

Nous désignerons le logarithme d'un nombre par Uaotation log.

Les logaritiimes jouissent de propriétés très-remanioa^ blés que nous allons démontrer.

71. Théorème I. Le logarithme du produit de ph»^ facteurs égale la somme des logarithmes de ces facteurs^

Soient deux nombres y et y\ dont nous appellerons x et X les logarithmes ; d'après la définition même des logarithmes, on a

Multiplions ces deux égalités membre à membre , il vient L'exposant x + a/ est le logarithme du produit y\j ; on a

dODC

iog{yy) = iogyH-iogy.

La même démonstration s'applique à un nombre quelconque de facteurs. Soient trois nombres j/, y\ y\ ayant pour logarithmes x, x\ af' ; on a de même

ct|en

multipliant

a^''«"' = yy'y-;

QOOC

log(yy/) =

slogy + logy*

+ logy''.

72. Théorème II. !« logarithme iVun quotieni égale le bfcrifftnitf du dividende moins le logarithme du diviseur. En divisant membre à membre les deux égalités

a" = !/, OQa

98 CBAPITR& ly.