THÉORIB DES ÉQUATIONS. IM

ftètm nombr$^ie$ variatiom^ U en différé dTtin nombre UmB remarqfuond d'abord que le polynôme ^(j?) a lernier terme positif, sans quoi il aurait une racine ve , ce qui est contraire à l'hypothèse ; ce polynAme mi donc un nombre pair de variations, s'il en contient. re part, nous avons vu que la multiplication par ciiales facteurs x — a Introduit un nombre impair de varia- ,c*e8t-à-dhre une, plus un nombre pair; on aura ainsi ment dans le polynôme f{x) autant de variations qu'il e racines poâtives , plus une somme de nombres pairs, 4-dire jAus un nombre pair de variations, r exemple, l'équation

X* — 5ar* — a X* + ^* + 7^ — 8 = 0

nte trois variations. Elle ne peut admettre plus de trois

es positives ; elle en aura trois ou une.

kjQation

inte quatre variations; elle ne peut admettre plus de "e racines positives ; elle en aura quatre, ou deux , ou [a tout, kpmtion

»ite une seule variation. Elle ne peut avoir plus d'une e positive , et elle en a certainement une.

7. Corollaire. Si dans l'équation f{x) = o, on change — a?, on obtient une nonvelle équation qui a évidem- ; pomr racines celles de la proposée changées de signes ; , les racines négatives de la première deviennent posidans la seconde. Si donc on applique le théorème pré-

cèdent à Téquation traDsformée « on aura une limite supérieure du nombre des racines négatives de Téquafion proposée.

Soit, par exemple , l'équation

X* — Sx* — ax* + ^' + 7^ — 8 = 0

en remplaçant x par — a; , on obtient la transformée

— ar* — 5x* + ax* + ^ — 7^ — 8 = o,

qui présente deux variations. Cette dernière équation admet au plus deux racines positives , et par conséquent la proposée a au plus deux racines négatives. Si elle n*en a pas deux 9 elle n'en a pas du tout.

De même l'équation

ayant pour transformée l'équation

— x' + 5x* + 8ar* + 4x + 6 = o ,

qui présente une seule variation , a une racine négative et une seule. Nous avons vu déjà que cette équation a au plus quatre racines positives ; elle admet donc au plus cinq racines réelles ; comme elle a sept racines , puisqu'elle est du septième degré « il s'ensuit qu'elle a au moins deux racines imaginaires.

L'équation

ayant pour transformée

a une racine négative , et une seule. Nous avons vu déjà qu'elle a une racine positive; donc, elle a en tout deux racines réelles , et , par conséquent , quatre racines imagi*naires.

TUÉORIC DB6 ÉQUATIONS. 201

EGHERGHE OU PRODUIT DES FACTEURS DU PREMIER DEGRÉ COMMUNS A DEUX FONCTIONS ENTIÈRES DE X.

IhS. Supposons que deux fonctioDs entières de x aient décomposées en facteurs du premier degré , le produit I facteurs du premier degré communs à ces deux polynes s'appeUe leur plus grand commun diviseur a/géjue.

e déâgne par X et X^ ces deux polynômes , ordonnés par »p<Nrt aux puissances décroissantes de a?, en supposant 3 X soit d'un degré supérieur ou égal à X^ . Je divise X * X| ; j'appelle Q le quotient et X, le reste , ce qui donne

dis que le plus grand commun diviseur entre X et X^ est même qu'entre X^ et X,. En effet , soit x — a un facteur du smier degré commun à X et à X^ ; si dans l'égalité prélente on fût X = €c, X s'annule , de même X^ et par suite produit X, Q, puisque le polynôme Q conserve une vair finie ; donc X, , différence de deux quantités nulles , mnule ausiû ; donc ce polynôme X, est divisible par x — a. m tout facteur du premier degré commun à X et X^ est mmun à Xj et à X,. On démontrerait de même que , récioquement, tout facteur du premier degré commun à X, à X, est commun à X et X^. Les facteurs du premier degré mmuns étant les mêmes de part et d'autre, les produits ces facteurs communs , ou les plus grands communs dileurs, sont les mêmes.

Ainsi la question est ramenée à la recherche du plus and commun diviseur entre X^ et X,. On procédera de la 6me manière : en divisant X, par X, , et appelant X, le Bte, on aura

202 GHAPITHB VI.

Le plus grand commun diviseur entre I^ et X, etile même qu'entre X, et X,.

Divisons X, par X, , et supposons que Ton trouve un reste nul ; il est clair que X, , divisant exactement X, , est le produit des facteurs du premier degré communs à X, et à X,; c'est donc le plus grand commun diviseur cherché.

Ainsi 9 pour trouver le plus grand commun diviseur di deux polynùmes « après avoir ordonné ces deux polynàma par rapport aux puissances décroissantes dex, an divise celui {Ut est du degré le plus élevé par Vautre » celui-ci par U reste de la division , et ainsi de suite jusqu'à ce qu^on arriee à un reste nul. Le dernier diviseur est le plus grand commun diviseur cherché.

Dans ces opérations, les restes , et par suite les diviseurs successifs, vont en diminuant de degré ; on arrivera donc à un reste nul ou à un reste indépendant de x. Dans le premier cas, les deux polynômes admettent un plus grand oom* mun diviseur algébrique d'un certain degré. Dans le second cas, ils n'en admettent pas , et sont dits premiers entre em.

lAd. Remarque. Dans la pratique , afin d'éviter les coefficients fractionnaires , on peut multiplier tous les termes de l'un quelconque des polynômes par une quantité quelconque indépendante de x. De même , si l'on aperçoit UB facteur commun aux coefficients de tous les termes d'un certain reste, on peut le supprimer. Je suppose, par exemple, que pour effectuer la première division on ait multiplié le dividende par un nombre A, et qu'ensuite on ait divisé tous les termes du reste par le nombre B , on aura