THÉORIE DES ÉQUATIONS
ieb, mais encore commensurables ; dans ce cas , si i'élation admet une raison incommensurable de la forme -|-v^9 a et 6 étant des nombres commensurables, elle [mettra la racine conjuguée a — ^b. Concevez , en efiet , te Ton remplace dans le polynôme x par a + v^6 et que o développe les diverses puissances de a + v^, suivant loi du binôme ; comme les puissances paires de } sont rationnelles et les puissances impaires de la forme fFy B étant une quantité rationnelle, il est clair que Ton rivera à une expression de la forme P + Q/^» en désiant par P et Q des quantités commensurables. Remiçons maintenant X par a — v^6; si tous les coefficients nt commensurables, la valeur du polynôme ne différera de précédente que par le signe de ^b, et Ton obtiendra la lantité conjuguée P — Q ^^6. Pour que a + y^soit racine l'équation , c'est-à-dire pour que la quantité P + Q\/6 it nulle, il faut que Ton ait séparément P = o , Q = o ; inc a — ^b est aussi racine de F équation. Cette propriété, qui a de l'analogie avec la précédente, est ^coup moins générale; il arrive rarement que l'équation Imette une racine de la forme a + v^6 ; lorsque cela a lieu, premier membre admet un facteur du second degré
efficients commensurables.
^S UNE ÉQUATION ALGÉBBIQUE COMPLÈTE OU INCOMPLÈTE , CE NOMBRE DES BACINES POSITIVES NE PEUT SUBPASSER LE TOMBEE DES VABIATIONS. — CONSÉQUENCE RELATIVE AUX PAGINES NÉGATIVES.
IftA. Lorsqu'un polynôme à coefficients réels est ordonné
196 CHAPITRE VK
par rapport aux puissances décroissantes de x^ deux termes consécutifs affectés de signes contraires présentent ce qa*(A nomme une variation. Par exemple, l'équation
X* — !kr* — ax* +;p* + 7^ — 8 = 0
a trois variations : une du premier au second terme , VM du troisième au quatrième , une du cinquième au âxiëiBe. Nous démontrerons d'abord le lemme suivant :
Lemme. Lorsqu'on multiplie un polynôme par x— a, a étant un nombre positif, on introduit au moins une varior tion nouvelle dans le polynôme.
Un polynôme quelconque, ordonné par rapport «n puissances décroissantes de x^ peut être écrit sous b forme.
• •••••• ZJ^ iif^|«b Z^ AgJf» •••••••••••••• -^-» A^*
Le polynôme commence par un groupe de termes pontifi* puis vient un groupe de termes négatifs , puis un groupe de termes positifs, et ainsi de suite jusqu'au dernier groope qui commence au terme zp A^% à partir duquel il n'y * plus de changement de signes. Chaque groupe contient ub nombre quelconque de termes et même un seul terme. Us variations se présentent quand on passe du dernier terme d'un groupe au premier du groupe suivant. En multipliant ce polynôme par x — a , nous aurons
A«af-* -A.
•An+iÛ
af-^* +Ap
+Ap4.iû
=fa...i«
La multiplication par x conserve à chaque terme son sigoe et donne la première ligne; la multiplication par--^ change tous les signes et donne la seconde ligne. Le pre-
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ier tenue A^«*+* du produit a le âgne + ; 1® terme du gré n -f 1 9 provenant de l'addition de deux termes n^a- 3, a le signe — ; quels que soient les signes des termes ermédiaires, il est certain qu'entre ces deux termes de ;ne8 contraires , il y a au moins une variation ; on revave ainsi au produit la première variation du multipli- Bde, celle qui a lieu de o^ à ^. De même le terme du gré p + > 9 provenant de l'addition de deux termes posii, a le signe + ; entre les deux termes en sà^^ et en ***, qui sont de signes contraires , il y a au moins une riation , et Ton retrouve ainsi au produit la seconde vation du multiplicande , celle qui a lieu de jb* à x^, Poiir Qplifier le raisonnement, nous pouvons réduire le mullicande aux premiers termes des différents groupes » et
considérer dans le produit que les termes correspon- QtSt c'eat-à-<lire ceux dont le degré est supérieur d'une ité; ces termes du produit étant affectés des mêmes ;iies que les termes correspondants du multiplicande , il t dair que l'on retrouve au produit toutes les variations . multiplicande. Ainsi quand on sera arrivé au terme en "S on aura retrouvé au produit toutes les variations du iiltiplicande. A partir du terme en x\ le multiplicande ne ésente plus aucune variation; mais le terme constant : A^ du multiplicande , multiplié par — a , donne le dorer terme =t= K^a du produit ; ce dernier terme ayant un {ne contraire à celui du terme en x^S le dernier groupe i produit contiendra encore au moins une variation. On en nclut que le produit contient au moins une variation de 08 que le multiplicande.
11 peut arriver que la multiplication par x — a introduise us d'une variation nouvelle ; dans ce cas elle en introduit
3, ou 5, , en général un nombre impur. En effet,
lOS GHAPIJKE YI.
da^is chacun des groupes du ]H:oduit,.nous ayons retrouvé la vai*iation correspondante du multiplicande : mais » daia ce groupe, il peut y avoir plus d'une variatioa; car les termes intermédiaires, provenant de raddition de deui termes de signes contraires , ont des signes quelconques) mais lorsqu'il y en a plus d'une, il y a un nombre impair, c'est-à-dire une, plus un nombre pair, parce que entre depx termes de signes contraires il y a nécessairement un nombre imp^ôjr de changements de signes; ainsi.^chaque groupe Ai produit pourra introduire un nombre pair de variations nouvelles. Le dernier groupe en introduit un nombre inqpair; en tout un nombre impair de variations nouvelles.
146. Théobèmb. Dans une équation algéèrique à eôiH^denté réels f 1$ nombre des racines positives né peut tvh passer le nombre des variations.
Soil f{x)=:o une équation à coei&cient8 réels ayant tt certain nombre de racines positives a, 6, c,.... g* Supçosons le polynôme f{x) décomposé en facteurs et désignons par <p(x) le produit des facteurs binômes qui correspondeot aux racines négatives et aux racines imaginaires conjuguées , nous aurons
f(x) = (x — a){x — b) (x — g)ff[x).
D'après la remarque du n* 142, le polynôme ©(j?) a aussi ses*coeflBcients réels. Or, si nous multiplions ce polynôme successivement par chacun des facteurs binômes x—s,
X — J, , x — gf , qui correspondent aux racines positives,
chaque multiplication introduisant au moins une variation nouvelle, le produit final f[x) contiendra au moins autant de variations qu'il y a de racines positives.
1&6. Remarque. Si le nombre des racines positives nef<
