Si les deux équations

X =r o , Xj = O

nt n racines communes , les deux polynômes X et X^ adlettent n facteurs du premier degré communs, et, par ODséquent , ils ont un plus grand commun diviseur du \Bgjré n. Pour trouver les racines communes à deux équakms, on cherchera donc le plus grand commun diviseur des leax premiers membres de ces équations ; soit D ce plus ;rand commun diviseur, l'équation

ioimera les racines communes aux deux équations.

Si les deux polynômes n'ont pas de plus grand commun ïiviseur algébrique, les deux équations n'ont pas de racine îommune. Si le plus grand commun diviseur est du premier legré, il y a une racine commune ; s'il est du second degré, ' a deux racines communes , etc.

Exemplei.

i"" Trouver les racines communes aux deux équations

Voici le détail des opérations :

a?*— 3a:'+ 3x* — 3a?4- a ax*— 6a?'+ 6a?*— 6a?+ 4 •aap*4"5^ — <3?* — aa?

aa?' — 5a?*4- a?+a

— aa?*+ôa:* — /ix

— x'+ 5x'— Sx+ 4 — ax*+ioa?' — i6x+ 8 +aa?' — 5a?'-}- a:+ a

5a?* — i5a?+io a?* — 3a?-}- a

On a multiplié deux fois le premier dividende par s afin d'éviter les fractions , et on a simplifié le reste en le divisant par 5. Le plus grand commun diviseur des deux polynômes est X* — 3x -}- a. Il y a donc deux racines communes qui seront données par l'équation

ar* — 3a? + a = o ;

ces deux racines communes sont i et a. 2" Résoudre l'équation

sachant que l'une des racines surpasse une autre racine de s. Posons ar= a' + 2, et remplaçons x par cette valeur dans

RAaNSa ÉGALES. 206

]ii8tion proposée , nous formerons la nouvelle équation e'+«r-4(^ + «)' + 4(«' + a)«-4(x' + a) + 5 = o, I en dévdoppaot et supprimant Faccent ,

là relation â; = â/ + 2, on déduit x' = x — s; les vars de aff ou les racines de la nouvelle équation , sont irieures de deux unités aux valeurs de x^ c'est-à-dire : racines de Téquation proposée; celle-ci ayant deux rasa telles que a et a + 2, la seconde admettra les racines - 9 et a; il en résulte que les deux équations ont une ra- 3 commune a, et , par suite , les deux polynômes un plus nd commun diviseur du premier degré. En cherdiant ce s grand commun diviseur, on trouve x — 1 . Ainsi Téqua- 1 proposée admet la racine 1 et, par conséquent, la rae 1 4- 2 ou 3 ; connaissant deux racines , la division par - 1 et par â?— 3 ramènera l'équation à une équation du ond degré x* + 1 =: o , qui donnera les deux autres ra-

OIENT ON RBGONNâIt QU'uNE ÉQUATION A DES fULONES tGALES ET COMMENT ALORS ON RAMÈNE SA RÉVOLUTION A XLLES d'autres ÉQUATIONS DE DEGRÉ MOINDRE , DONT LES lACINES SONT INÉGALES.

161. Nous avons expliqué (n"" 136) comment on décomle un polynôme entier f{x) du degré m en un produit m facteurs du premier degré

te décomposition ne suppose pas que les quantités a, fr,

206 CHAPITRE Vî.

c. t h\ soient différentes les nues des Mitres. S pinni

ces quantités plusii^urs sont égales entre elles, on ditcpe l'équation a des racines égales.

Supposons 6 = a; le polynôme contient le facteur («—«7, et la racine a est dite racine double. De môme, si a =s(r=r, le polynôme contient le facteur (x — a)' et la racine a est racine triple. En général , lorsque le polynôme contient le facteur {x — a)*, on dit que l'équation a n racines égales à a, ou que la racine a est du degré n de multiplicité. De cette manière , les théorèmes généraux sur les équations sub^ tent : ainsi, en tenant compte du degré de multiplicité des racines , une équation du degré m a toujours m racines, eic,

162. Théobème Une racine d ordre n annule k pot)nôme et se$ n — i premières dérivées , et réciproquement.

Soit f{x) = o l'équation proposée. Nous pouvons écrire f{x) =f{a-\'X — o), et, regardant x — a conoime un accroissement , développer suivant la loi connue ; nous aunnis

Le premier terme f{d) étant nul, puisque a est racÎDe, on peut diviser par x — a, ce qui donne

Si a est racine double , le quotient , devant contenir encore une fois le facteur x — a, 8*annulera pour «= a; »^ pouY a? 1= a, il se réduit à f{a) ; on a donc f{a) = o, «ti* racine double vérifie l'équation f{x) = o. En divisant pff X — a, on obtient le nouveau quotient

^=ça+m,..,+

[X — rt) i.a i.a.o