RACINES ÉGALES

Si a est racine triple , ce dernier quotient, devant contenir encore le facteur x — 0 , s'annulera poiu* x=:^ai et foQ aura f'{a) = o. Ainsi une racine triple annule le polyi6me f{x) et ses deux premières dérivées. En effectuant la division , on a

Si a est racine quadruple , ce dernier quotient , devant contenir encore le facteur x — a, s'annulera pour a:= a, et Ton aura f'{a) = o. Ainsi une racine quadruple annule le polynôme et ses trois premières dérivées. En continuant ainsi de proche en proche , on voit qu'une racine du degré n de multiplicité annule le polynôme f{x) et ses n — 1 premières dérivées.

La réciproque est vraie : si a annule le polynôme f{x) çt ses n — 1 premières dérivées , elle est racine du degré n de multiplicité de l'équation f(x) = o. Car le développement (1) se réduit alors à

OU , en mettant {x — a)** en facteur, à

*' ^ ti.^ n i.a (w+i) J

le polynôme f{x) contenant le facteur {x — a)*, a est racine d'ordre n.

Il résulte de ces deux propositions qu'une racine d'ordre n annule le polynôme et ses n — 1 premières dérivées , mais n* annule pas la dérivée suivante.

la dâiÎTée suivante.

En gén^«l , une radne d'ordre n de l'équati est radne d'ordre n — i de l'équation f{x) = <

15A. CoROLLAïKE II. Il résulte de là que U commun diviseur entrt un polynôme et ta dirm duit des facteurs multiplei qui eompoient U po posé, l'expotanl de chacun d'eux étant diminué En effet , les racines simples de l'équation f{x) : fîant pas TéquaUon fix) = o, les facteurs simp nôme f{x) n'entrent pas dans la dérivée f{x). doubles de l'équation f{x) ■= o étant radnes l'équation /"(j;) =o, les facteurs carrés «ntrenl degré dans ta dérivée. En général , soit {x — a) multiple du polynAme proposé f{j), la racine étant racine d'ordre n — i de l'équation f{x) = nôme f'{x) contiendra te facteur (x — )«""'*

On peut démontrer directement cette propos! nant la dérivée du polynôme proposé f{x). Suj ce polynôme admette les facteurs multiple (» — 6)', (a; — c)*, et les facteurs simples (x — de telle sorte que

BACINBS ÉGAUS. S09

r) = nA(x— <i)"-'(x— *)' (a:— f)« (x—d)(x—t)

+ pA(a?— û)* [x—bY-'ix—cy (x—d){x--e)

+ çA(x— a)* {x—b/ (x—cY-^x—d) (x— e)

+ A(aN-«)* (JT— 6)' (x— tf)« (a;— e)

+ A(a?— fl)" [x^b'f (x— c)« (X— rf) •

les termes contenant le facteur

îut écrire

n(x — 4)(x— r)(x — rf)(a:— ^).

+ (x — fl)(x— i)(x — c)(x — rf).

l'Tdt déjà que le polynôme f{x) et sa dérivée f(x) ad-* ont le diviseur commun

(jr -. a)*-i (X — by-^ (x — ey-^

le plus grand commun diviseur. En effet, dans Tex^ûxm de fix)^ tous les termes de la parenthèse, exï le premier, contiennent le facteur x — a ; si l'on fait a dans cette parenthèse , tous les termes s* annulant [rté le premier, la parenthèse ne devient pas nulle ; elle met donc pas le facteur x — a. De même , tous les es de la parenthèse contenant le facteur x — 6 , exi le second , la parenthèse n'est pas divisible par x^- 6^ asi de suite. La parenthèse n'admet donc aucun des urs premiers X — o, x — 6, x—c,^ — (I,^— "«»••••♦ composent le polynôme proposé. On en conclut que le

HO CfiAPITHB VI.

plus grand commun diviseur entre les deux polynômes f[t] et f{x) est bien

165. D'après cela, pour voir si une équation f{x) =o a des racines égales, on cherchera le plus grand commun diviseur algébrique entre le polynôme f{x) et sa dérivée f{x) . Si ces deux polynômes n*ont pas de plus grand cônmun diviseur, on en conclut que l'équation profiosée n'a pas de racines égales. Si ces deux polynômes ont un plus grand commun diviseur du premier degré , l'équation proposée a deux racines égales. Si le plus grand commun diviser est du second degré, l'équation admet deux racines doubles ou une triple, etc.

Comme application , nous allons chercher la condition à laquelle doivent satisfaire les coefficients de l'équation do troisième degré

x^-{-px-{-q = Oy

pour que cette équation ait deux racines ^ales. Le polynôme x^ + px-i- q et SSL dérivée 3a;' + p doivent admette un commun diviseur du premier degré; si l'on effectue l'opération du plus grand commun diviseur, quand on mr9L arrivé à un diviseur du premier degré , on devra trouTO'aKi reste nul.

— 3x' — px

^px-{-^q

apx + Sf

6px' -|- ap*

— 6p jr* — ^x

— 9^x + ap*

— i8/?ya: + 4p'

RACIHB8 iOàLES. 211

Ainsi la emidition demandée est 4p* -f- «79 * = o , ou

L*6qtiatlmi ûpit -f $9 = o, obtenue en ëgsAànt le plus grand commun diviseur à zéro , âonne lik racine doublé

z = ^. La somme des racine étant nulle • la troisième

lacmeest— .

Par exeiiq)let les coefficients de l'équation

x* — ajx + 54 = o

Tërifiant la condition précédente; cette équation a deux racines égales à + 3 ; la troisième racine est — 6.

166. Nous allons expliquer maintenant comment on ramène la résolution d*une équation qui a des racines égales à celle d'autres équations de degré moindre dont les radues sont inégales. Soit X = o ime équation qui admet des racines de différents ordres , par exemple , des racines afanples, des racines doubles, triples ou quadruples. Si l'on désigne par X^ le produit des facteurs simples , par X, le produit des facteurs binômes qui correspondent aux racines doubles , chacun étant pris seulement au premier degré, et le même par X, et X^ les produits des facteurs binômes lui correspondent aux racines triples ou quadruples , on ^rira le polynôme X sous la forme

.A. •— A* A.m Am A.^0

Cherchons le plus grand commun diviseur D ëtitre te Polynôme X et sa dérivée-, ce plus grand commun diviseur

212 CHAPITRE Vf.

étant égal au produit des facteurs multiples dont ob diminue les exposants d'une unité , on aura

De même, le plus grand commun diviseur entre le polynôme D et sa dérivée sera

D, = X,Xî,

et enfin le plus grand commun diviseur entre le polynôme

Dj et sa dérivée sera

En divisant deux à deux les polynômes précédents , on obtient les quotients

— = Q, = X, X3 Xj ,

Divisant chacun de ces nouveaux polynômes par le snivant 9 on a enfin

Une fois trouvés ces polynômes X,, X,, X,, X,, •* résolution de l'équation proposée est ramenée à celle à^ équations

X, =0, X,=::o, X,e=o, X,ao,

RAlilNEtt ÉGàLBS. 21S

n'ont plus de racines égales ; la première donne les ra-* s umples de l'équation proposée, la seconde les racines t>les, la troisième les racines triples, etc. insi, pour ramener la risolulion d'une équalion qui a Hucines égales à celles d'autres équations de degré moindre fU leurs racines inégales, on cherche le plus grand corn-i diviseur entre le premier membre de Téquation et sa vie, le plus grand commun diviseur entre ce premier plus %d commun diviseur et sa dérivée , et ainsi de suite jusi ce qu*on arrive à un polynôme premier avec sa dérivée; iivise ensuite le polynôme proposé par le premier plus là commun diviseur^ le premier par le second , et ainsi de f ; on divise , enfin , chacun de ces quotients par le sui^ r, et ton égale à zéro ces nouveaiuc quotients. On obt de la sorte des équations donnant , la première les ras simples , la seconde les racines doubles , la troisième les mes traies i , de V équation proposée.

Exemple :

ioit Téquation du septième degré

X = a:'' — ax* — x* + x* + ^^* — * = o.

cherchant le plus grand commun diviseur entre le poftme X et sa dérivée , on trouve

^hei-chant le plus grand commun diviseur entre le polyiie D et sa dérivée, on trouve

Dj = x — i;

lemîer polynôme est premier avec sa dérivée. Divisant polynômes Ton par l'autre, on a les quotients

21i cHAFiTiii yu

£ = Q, = a?«-i, Dj=a: — i.

De nouyelles divisioiis donnent

et Ton arrive aux trois équations

La première donne deux racines simples imaginaires , lu seconde une racine double — i , la troisième une radne triple + !•

RECHERCHE DES RACINES COMMENSURABLES d'uNE ÉQUATIOir ALGÉBRIQUE A COEFRCIENTS COMMENSURABLES.

Recherche des racines entières.