OC

obtenue en posant — - — ^ = z. Nous clierchons la valeur

de 07 ou de z qui annule la fonction ; nous aurons donc pour déterminer z l'équation

(1) o=tt, + zAï/,.f5ii=^AX+

([ue l'on résoudra par approximations successives. En effet, la raisonft étant très-petite, les différences successives diminuent très-rapidement ; si l'on néglige les différences d'un ordre supérieur au premier, on al'équation du premier degré

</^ + 2AMç = 0,

RÉSOLU IlON NUAIKRlQUfi DES ÉQUATIONS. 301

d'où l'on déduit la valeur approchée

On peut mettre Téquation (1) mise sous la forme

^Q L la ^«0 J

On voit que l'erreur commise en prenant pour z la valeur

approchée — r-^ ^t exprimée par la parenthèse ; pour se

rendre compte de l'erreur, on évaluera rapidement et par excès cette parenthèse.

Si l'on voulait une approximation plus grande, on remplacerait dans la parenthèse z par la première valeur appro*

chée ^, ce qui donnerait une seconde valeur plus

Au, ^

approchée que la précédente , et ainsi de suite.

Méthode de Newton.

201» Posons x = x^-^aL^a étant plus petit que ft, et dé-* veloppons f{x^ + a) suivant la loi connue ,

nous aurons pour déterminer l'inconnue a l'équation

(a) o = f{x,) + r^a + r(xo) — +

L'inconnue & étant une quantité très-petite , on pourra négliger les puissances supérieures à la première , et l'on aura l'équation du premier degré

on en déduit là valeur approximative

On peut écrire Téquation (2) ^pus )§ fonnç^

On voit que rerreur commis^ en pr^afit la y^eur a^ffo-

chée — f^^r est exprimée par la parenthèse ; pour se

rendre compte de Terreur, pn évaluera rapidement et par excès cette parenthèse.

Les termes de la parenthèse diminuapt rapidement,

Terreur commise est à peu près égale à -^^V ^\ a*; la

quantité ^77-^ est ordinairement plus petite que Tunité

et par conséquent Terreur conmiise moindre que a*. Ainsi l'application de cette méthode double en général le nombre des chiffres décimaux exacts ; par exemple, si h est moindre que 0,001, Terreur commise sera en général moindre que 0,000001 ; on connaissait la racine avec trois chifires décimaux exacts; on Ta maintenant avec six chiffres décimaux. On peut répéter Topération plusieurs fois , en se servant de la valeur donnée par une première opération pour en déduire une valeur plus approchée , etc.

Emploi simultané des deux méthodes.

202. Il est très-avantageux d'employer siipyltanément les deux méthodes, de manière à ce que Tune donne un résultat trop petit, Tautre un, résultat trop grand; la valeur

I de la racine étant ftlors comprise entre les deux, on i juste l'approximation sur laquelle on peut compter, irésentons par deux ordonnées AC et BD les valeurs de contrsûres du polynôme pour x=zx^ et a? = a?^ -|- ft, ^ns la courbe du point G au ppint D. Cette courbe l'axe OX en un point M qu'il s'agit de détenniner. allons faire voir que la méthode d'interpolation par s proportionnelles consiste à remplacer l'arQ 4e s CMD par la corde CD ; tandis que la méthode de

Newton revient à mener la tangente CQ au point G.

En effet, par le point P traçons une parallèle DE à l'axe OX ; pn a BD + AG =r CE ; les triangles semblables ACP, 0^, nt