Exams XI. Soit ré^uàticta
c* — e"' = aa?
que l'on a à résoudte dans le problème de 4a chaînette, c'est-à-dire lorsque l'on cherche la forme d'équilibre d'une chaîne pesante, fiheâoiàs )i = is,S4.
296 CHAPiTUk Vlll.
Si Ton pose y = e*, z = «-», Téquation s'écrit
t« = y — z — ia,54Xa? = o,
et l'on calculera y et z par les f(»inules
log y = a? log e = 0,43439448 X a:, logz= — logy.
On remarque que log e est le module M des logarithmes vulgaires.
L'équation est vérifiée par a? = 0 ; mais elle admet , en outre, une racine positive que nous nous proposons de déterminer. La valeur x = 1 donne évidemment un résultat négatif. Pour a; = 2, on a y < 9, et par conséquent u < 0. Si Ton fait le calcul pour les nombres suivants , on trouve
j;=r3, y = io, w = — 37, .
a? = 4, y=r55, tt = + 5.
La racine est comprise entre 3 et 4 9 et elle est beaucoup plus près de 4 que de 3. Dans ces premiers calculs, on peut négliger z et les décimales.
Essayons en rétr(^radant
^ = 3,9, y = 49>4o2, z = o,oao, u = 0,476 a?=3,8, y = 44,701, 2 = 2,022, «* = — 2,973,
La racine est comprise entre 3,8 et 3,9, et elle est beaucoup plus près de 3,9 que de 3,8. On partagera de même cet intervalle en dix parties égales :
La racine est comprise entre 3,88 et 3,89.
Partageons cet intervalle en dix parties égales et essayons encore en rétrogradant :
X =r 3,889, y = 48,86200, z = o,oao47, u = 0,07347 jr = 3,888, y=48,8i3i6, 2=0,02047, w= o,o37i5 X = 3,887, y = 48,76437, z = o,oao5i, u = 0,00086
X = 3,886, y = 4^^7*557» ^= o>o2o53, ti = — o,o354o.
Pour effectuer rapidement les calculs , il faut avoir soin de construire d'avance des tables contenant les produits du module M et du nombre 12,54 par les neuf premiers nom* bres. La racine est comprise entre 3,886 et 0,887.
Si l'on prend les différences des valeurs de la fonction , on voit que les différences secondes sont constantes.
Ainsi on pourra continuer le calcul comme s'il s'agissait d'une équation du second degré ; mais nous reviendrons plus tard à cette question.
199. Exemple XII. La détermination du mouvement d'une planète ou d'une comète autour du soleil se ramène à la résolution de l'équation
u — e sin ti = 2;,
dans laquelle la lettre % dé^gne un angle donné; u un angle cherché , e l'excentricité de l'orbite divisée par êin i'\
298 CHAPITRE ?IIK
Quand on <d>tient cette équation ^ ^ tiu dtfigîient des
longueurs d'arcs , e l'excentricité : on la transformé «h changeant les arcs en angles. Soit x Je nombre qui mesure la longueur d'un arc, le rayon étant pris pour unité*, on sait que , dans la construction des tables trigonométriques, la longueur de l'arc d'une seconde a été prise pour le »nus
de l'angle d'une seconde; le quotient a/=-= — jj exprimera
donc combien l'angle qui c(NTe8pond à l'arc x contient ëe fois l'angle d'une seconde. Ain^, pour transformer un arc eo angle , l'angle de i" étant pris pour unité , il loffit de le diviser par sin i". Si donc on divise par sin i'' tous les teraies de l'équation
u — 6sinti = Cy
on obtient l'équation
ti' — -: — r8inu = C'.
sm i"
Quand il s'agit des planètes tlont \eé orbites ont, en général , des excentricités très-petites , on peut résoudre l'équation par la méthode des approximations successives. Écrivons, en effet, l'équation sous la forme
En négligeant le second terme du second membre , on a une première valeur à]pprochée
Substituant cette valeur dans le second membre , on a une seconde valeur
ttj=Ç-|-esînC
plus approchée tj(tie là première. SuhMituatat cette sëcMdc
valeur approchée dans le second membre , on a une troisième valeur encore plus approchée
fij = i; -|-esint/j, et ainsi de suite.
Prenons î = (52"i8'54"i6 et l'excentricité 0,016799^6 de Torbite terrestre. On cherche d'abord
log e = -^. ^^r- = 5,5395343,
qui servira dans tout le cours du calcul. Calculons par logarithmes la première correction esinC :
log e = 3,5395343 log sin Ç = 1,947857»
3,4873915 e sin Ç = 0* 5i' 1 1%8 ; «1 = 63° ao' 6%4.
Calculons de même la seconde correction esinu^ — esinC :
ioge= 3,5395343 logsini/j = T,95ii658
log o** 5 1' 35% 3... = 3,4907001 c sin «, — (; sin C = 25",6 5 ti, = 63* ao' a9",9.
Calculons ensuite la troisième correction esinu, — esinu^ :
log € = 3,5395343
logsinti,= 1,9511906
logo» 5r35%5 ... = 3,4907249 esinti, — e8inM, = o",2; W| = 63'ao'3o",i.
On voit que les corrections deviennent de plus en plus petites ; la correction suivante n'aurait pas d'influence sur
300 CHAiUiKK Mil.
les dixièmes de seconde. Le calcul se fait très-rapidement , parce qu'on se sert toujours de la même partie des tables.
AYANT OBTENU, AVEC UN CERTAIN DEGRÉ d' APPROXIMATION, UNE RACINE d'uNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE OU TRANSCENdante, en approcher davantage par la méthode de newton. — usage des constructions graphiques pour l'application de cette Méthode.
Méthode par interpolaiion.
200. Quand on a obtenu une racine d'une équation avec un certain degré d'approximation, on peut en déduire aisément une valeur beaucoup plus approchée. La méthode la plus simple est celle d'interpolation. Soit u = f{x) le premier membre de l'équation ; on a trouvé deux valeurs x^ et x^ + h qui comprennent une racine. Reprenons la formule (C) du n» 182
