Appliquons à l'équation du troisième degré

dont nous avons calculé la plus petite racine positive à un millième près (n® 187) . Supposons d'abord que nous n'ayoDs pas été plus loin que les dixièmes par les différences ; la racine est comprise entre o,3 et o,4*

Par la première méthode, celle des parties proportionnelles , nous avons la correction

Terreur commise est donnée par la formule

r2(z— i)AX . Z(Z— l)(g — 2)AX"[ L 1.2 AWjj 1.Î.3 ^«'oJ

L'erreur est négative et moindre en valeur absolue que

Le produit z (i — z)^ ayant sa valeur maximum pour

z := - , est toujours moindre que j ] dans le cas actuel, il est

moindre que z ou que o, 1 4 ; la valeur absolue de l'erreur est donc plus petite que

Ainsi la valeur de z est comprise entre o,i3i et 0,1 36. Comme nous avons pris dans le calcul de z le dixième pour unité, la correction sera 0,01 3, et la première racine o,3i5 avec trois chiffres décimaux exacts, par défaut. La méthode de Newton nous donne la correction

Nous remarquons que, lorsqu'il s'agit d'une équation du troisième degré, le second diviseur hf{x^) se déduit trèsfacilement du tableau des différences , comme nous l'avons fait remarquer au n' 185 ^ de la différence première — 1455, il suffit de retrancher la moitié de la différence seconde antérieure 0,078 et le sixième de la différence troisième 0,006, ce qui fait — 1,493« L'erreur commise est exprimée par la formule

Quand on prend le dixième pour unité , la valeur « étant moindre que 0,0a, Terreur est positive et moindre que 0,001 1. Ainsi la valeur de z' est comprise entre ciSig et

S06 CHAPITRE Vlil.

Oi i33o, et l'on a la racine o,Si5 par défaut à tin demi-milliëme près.

Voilà comment on peut évaluer l'approximation de la correction calculée par Tune ou l'autre des deux méthodes. Mais quand on applique les deux méthodes à h fois, cette évaluation de Terreur devient inutile; la comparaison des deux résultats, dont l'un est trop fort, l'autue trop faible, indique assez l'approximation.

Si l'on prend la moyenne

z A- sf

des deux résultats approchés , il est aisé de voir que Tençur conunise est moindre que la demi-différence

En effet , si l'on appelle Z la valeur exacte de la correctioD,

e et e' les erreurs , on a

d'où

Ainsi la différence entre la vraie valeur Z et la moyenne

- — - est moindre que • Nous adopterons ainsi la valeur

approchée par défaut. Le dixième ayant été pris pour

unité, la correction est donc o,oi 5 et nous avons la première

racine o,3i5 avec trois chiffres décimaux exacts, par défaut

Nous avons poussé le calcul de cette première racine jus-

RÉSOLUTION KUVÉRIQUK fiBS ÉQUATIONS. t07

qa'wx mlUlëmes par les différences* Bi Ton applique alovs les deux modes de correction^ on trouve

14828093 '^ on prendra

ce qui donne la racine o,3 132409 avec sept décimales exactes.

20&. Nous avons supposé dans ce qui précède que x^ est une valeur de la racine approchée par défaut; les mêmes raisonnements et les mêmes formules s'appliquent au cas où elle est approchée par excès ; il suffit de rendre h négSr tive. Pour effectuer la correction , on partira de la valeur que Ton présume être la plus approchée.

Appliquons à l'équation du troisième degré

dont nous avons calculé les deux racines positives à un centième près (n"" 188). Pour la première, nous partirons de la limite supérieure 1 ,36 faisant A = — 0,01 ; nous aurons

on prendra Z = — o,3i , ce qui donne la première radne 1,3569 avec quatre chiffres décimaux exacts. Pour la seconde, on partira au contraire de la limite inférieure 1 ,69. Appliquons à T équation du quatrième degré

X* — Sar*— yx' + ito + Ssao,

dont nous avons calculé les racines positives à un dixième

près (n"" 10&) . Pour la première , nous partirons de la limite

inférieure i ,4. La méthode d'interpolation nous donne la

correction

2,4641 L'erreur commise est

en négligeant le dernier terme qui est négatif, remplaçant le facteur z par 0,2, et les facteurs 1 — j5 et s — z par 1 et î? , on voit qu'eUe est moindre que

Ainsi la valeur de z est comprise entre 0,1 63 et 0,176. On prendra 0,17, ce qui donne la racine a; =1,417 à moins d*un millième.

Par la méthode de Newton , on eût trouvé

En prenant la moyenne , on a

206. Nous avons calculé la racine de l'équation transcendante

e' — er' — 12,54^ = 0.

à an millième pr^s (n* 198) , et nous avons trouvé qu'elle est comprise entre 5,886 et 3,887, mais plus rapprochée

RK80LUT10N NUMÉRlUUB DES ÉQUATIOMS. 309

de ce dernier nombre que du premier. Nous avons vu que la difiérence seconde est constante au degré d'approximation où Ton peut aller avec les tables ordinaires de logarithmes. On aura donc, pour effectuer la correction , l'équation du second degré

, zlz — l) - O = llo + SAUo 4- -^ ^\y

d'où

Une prenûère valeur approchée de z est

La correction -^ ^ — ^ est momdre que — ?, amsi on

« AUp ^ lo'

aum la racine avec sept décimales exactes

Exercices :

Question I. Partager un hémisphère en deux parties égales par un plan parallèle à la base de l'hémisphère. On calculera l'inconnue à moins d'un milUème en prenant le rayon de la sphère pour imité.

Question II. Déterminer les dimensions d'un cylindre circulaire droit dont on connaît la surface totale et le volume. — On fera une application numérique.

Question III. Déterminer les arêtes d'un parallélipipëde rectangle, connaissant la diagonale, la surface totale et le volume.

9iO ghâpithb viu.

QuiMio» IV. Déterminer let côtés d'un triangle rectangle, eonnaissant la somme des deux côtés de l'angle droit, et le volume qu'engendre le triangle en toumuit autour de l'hypoténuse.

Question V. Calculer à moins d'un millième près la plus petite racine positive de l'équation x tang x = i.

Question VI. On a trouvé, pour l'écoulement des eau dans les tuyaux de conduite , la formule empirique

Q = î^i,o45 v'D?/ — o^oigôDS

dans laquelle D représente le diamètre du tuyau en mètre, jf la pente par mètre , Q la dépense par seconde en mètres cubes. Calculer le diamètre qu'il faut donner à un tuyau pQur que sous une pente donnée il fournisse ime quantité d'eau déterminée. — On emploiera la méthode des approximations successives à cause de la vitesse du second codF' ficient.

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DÉCOMPOSITION DBS FHACTIOMS RATIONNELLES. 311

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