LIVRE I. -^ OUP. V
Le quoiimi est 1» fiiêiBB quB dios l'eumpte préoédent; «eiiliDmeiit le dmnîer rc8tie% au lieu d'èlre aiil« eii égal 4 fio**. La division est impossible. Le quotient est fraoCioiH naîre et Ton a
On peut aussi reconnaître à priori l'impossibilité de la divisioB. Car> éa appdaBi teiijours q le quotient, r b ihOBtei
on a
d'où Too déduit, eu faisant o^ssa^
76. OuESTiON m. Dit?M€rx** — a" par X -fa. n faut ici distinguer deux cas, suivant que m est pair ou impair.
1" m pair.
X + tt
!• teste. — « «*^*— ^dT aî**-^--Hijp*-*+o'a:^»— . ..-f«*^»--«^*
!(• reste* +«*âr*^--a*
D" reste. +«"*-*^"' = o.
Les Mtnes fhf qiMieM sont alTeclés ahernativeiiMit-dii signe -f et du signe — « Le quotient, étant un polyoûme complet du degré m — i, contient m termes, c est-à-dire un nombre pair de tenues, si m est pair; commes les signes alternent en commençant par le signe +, le dernier tenne sera affecté du signe — , et par conséquent le dernier reste sera + û"* — «"* ou zéro. Ainsi, dans ce cas, la division est possible.
3* Si m est impair, le quotient, ayant un nombi^ iiupair
■1BE0ICB6. 79
de termes, se termîM pir to Âgne4*, el le reeie est — a* — oT ou — sa**. Ainsi, dans ce cas, la division est impossible.
Question IV. Diviser x^ + b,"^ par x -{- sl.
Le quotient a la même fiRUie cpie daas Ftiemple ptécédent. Si m est impair , le dernier terme du quotient a le Mgne + et Ton a pour reste — a* + «**« c*est-à-dire zéro ; la division est possible. Mais si m est pair, le dernier terme du quotient a le signe — et Ton a pour reste + «• + a% c'està-dire 90**; la division est impossible.
On peut rattacher ces deux derniers exemples aux deux précédents par des conaidératioiie sur les changemeote de âgnes. Nous savons que, lorsqu'on change le signe d'une lettre, les puissances impaires de cette lettre changent de ^gnes , tzùdis que les puissances paires ne changent pas. La division effectuée au n' 74 prouve que Ton a
changeons le signe de a; si m est pair, nous aurons x*— a* :±= (x -I- a) (x*-* — flx"^« + a»x*-'... — o"»-') ;
et, si m est impair ,
jc* + a* = (x + a) (x"*-* — ox*"* + «*x*"*... + a"-*).
On en conclut que x"* — a* est divisible par a? + a, quand m est pair, et que x* + a** est divisible par x + a ciuand t?i estimpau*.
Questiotvs à résoudre.
QuEsnoN I. Faire la multipUcation
fi^Mme: Le produit est a^ — 6\
80 LIVRB I. — GHAP. V.
Question II. Faire la multiplication
(a* — ab + b^){a + b).
Réponse : a* + **•
Question UL Faire la mnltipUcation
(«" + or-** + d~-V . . . + 6~) (a — 6). Réponse: d*** — 6***.
Question IV. Fsdre la multiplication
(3aV — 5*») (5a"ar + 5*»).
Réponse : 90*0^* — a56*.
Question V. Faire la multiplication
(5a6 + 3ac — c') ( — 5aé + 5ac — c*) Réponse : — a5a'** + gaV — 6ac' + ^*'
Question VI. Faii*e la division
aa' — 3a6 + 46* Réponse: a' — 5aô + ^'»
Question VIL Faire la division
4x* — ga V + Ofl'ar — a* 2X* — Sot + a'
Réponse : ax' + 3aa: — a*.
Question Vlll. Calculer
Réponse : a* -|- aW + 6*.
BIBRCICBS. 81
QoEsnoN L\. Calculer
5a — aé Béimie : a5a' + ioa6 + 46*.
QuEsnon X. Multiplier le polynôme
(a — b)3^-\~a(a — b)x — ab* par
Réponse :
iV 6t)ari ^ab(a— b)x^ — (a* — a^ + a«6' + a*») x -f- aW. QuEsnoN XI. Simplifier l'expression
Jiépmu:
J&ab Zc
ab
QcEsnoN XII. SimpIiGer l'expression
l+ab
