Remarque IL Les deux formules ont entre elles

188 LlfRB II. — CHAP. IV.

^ne analogie qu'il est bon de remarquer et qui permet de déduire Tune de l'autre. A l'inspection des deux équations proposées , nous voyons que la lettre a se rapporte kx^ de même que h k y. Si , dans ces équations , on permute les lettres x et y t a et b (c'est-à-dire si l'on remplace x par y el y par x, a par 6 et 6 par a) , les deux équations deviennent

by -{- ax z=ic y b'y + a!x = c\

et ne changent pas. Concevons que l'on répète sur ces der-^ nières les calculs faits précédemment, il suffira évidemment d'effectuer la même permutation dans les résultats. Ainsi , au lieu d'arriver à la valeur de y, on arrivera à celle de X ; donc , si dans la formule (5) , on effectue la permutation , on aura

bd—cb'

6o'— fl*'*

OU 4 en thangeant les sigtiés du numérateur et du déno^ minateur.

Cette valeur de « patisfait au nouveau syatème d'équations, et par cousôquônt au système proposé qui est le mémo*

Appliquons enoore ces considérations de symétrie aoi: deux équations

ax + by = cd f

auxquelles on est conduit en résolvant le prpUifM du D"" 11&. Si, de la seooudet on retranoh^ le premi^, multipliée par 6, on trouve

d'où

tf-u-6

tQUATIOIlS GÉlfÉnALES DU PREMIER DEGRÉ. i89

On voit que les équations ne changent pas quand on y permute les lettres x et y, a et 6 ; en effectuant la permutation dans la valeur de a; , on aura donc immédiatement

Soient encore les deux équations

(uc + by = c,

te+a'y=c.

Ed appliquant les deux formules générales, on trouve

aa'—b*' ^~ aa'—b*'

11 y a encore ici une certaine symétrie. Car, si Ton permute X et y, a et a\ les équations deviennent

ày^bx=c^ by + axz=c,

la première est devenue la seconde, la seconde la première, mais le système n'a pas changé. Si donc on effectue dans la valeur de x la même permutation , on trouvera y.

Discussion.

120. On appelle discussion en algèbre l'examen des différents cas que peut présenter une question. Nous avons îtsoln les deux équations générales du second degré

(0 ax + by = c,

noua allons examiner maintenant les principales circonstances qui se rencontrent dans les valeurs des inconnues.

SI les quatre coefficients a, a', 6, b\ des inconnues sont nak en même temps , et si les deux seconds membres c et f! ne sont pas nuls , il y a évidemment impossibilité. Hais si les deux seconds membres sont aussi nuk, les deux équa-

lAO LIVRE 11. — CBAP. IV.

lions se réduisent à deux identités et il y a indétermination complète ; car il est clair que Ton peut donner aux inconnues des valeurs arbitraires et indépendantes l'une de l'autre.

Ce cas très-exceptionnel étant écarté, supposons que l'un au moins des çoei&cients , a par exemple , ne soit pas nul. On peut tirer de la première équation la valeur de x comme nous l'avons fait; car il est permis de diviser par le nombre a , qui n'est ni nul ni infini ; en substituant dans la seconde, et en multipliant par le nombre a, ce qui est également permis, on remplace le système proposé par le système équivalent des équations (3) et (4) «

(4) {ab' — M)y = Qc'—ca'.

La discussion est ramenée ainsi à celle de l'équation (4) qui ne contient qu'une inconnue.

1** En général le coefficient ab* — ba! n'est pas nul ; dans ce cas, l'équation (4) donne pour y une valeur finie et déterminée; en la portant dans l'équation (3), on trouvera aussi pour x une valeur finie et déterminée. Ainsi lorsque le dénominateur ab' — ba' n*est pas nul, le syilime des deux équations proposées admet une solution et une seule.

2"^ Si la quantité ab' — 6a' est nulle sans que la quantité ac* — ca' le soit, l'équation (4) est impossible, et par conséquent les équations proposées sont incompatibles. Dans ce cas, la valeur de y se présente sous la forme o^.

Ceci aurait lieu de la même manière, si, le dénominateur a6'— 6a' étant nul, l'autre numérateur cb' — 6c' ne l'était pas ; car, alors, l'un des deux coefficiens 6 et 6' au moins ne serait pas nul ; on pourrait tirer de l'une des deux équations proposées la valeur de y et la substituer dans l'autre, ce qui conduirait à l'équation impossible

ÉQUaTIOSS CÉKÉIULE6 DV PREltlEll DEGRÉ. lAl

[(iA'-~bd)x=cb' — bc'.

AÎDsi fnofid U dénominateur ab' — ba' e$t nul, ei que fun ai moRéralettfi ns fe$t pas^ il y a impoisibilUi.

3* Si les deux quantités aV — 6a' et acf — ca* sont nulles CD même temps, a q' étant pas nulle, l'équation (4) devient vue identité, et les deux équations proposées se réduisent à meseole, l'équation (5). U y a indétermination ; on peut donner à y des valeurs arbitraires ; il en résulte pour x des nlenis correspondantes.

Ceci arrivera toutes les fois que les deux numérateurs aeront nuls en même temps que le dénominateur, l'un au mmns des quatre coefiBcients des inconnues étant différent de léro -, car on pourra toujours effectuer la résolution en divisant et multipUant par ce coefficient différent de zéro, ce qui conduira à deux équations de la forme (3) et (4)f doDt une se réduira à une identité.

Ainsi quand, l'un au moins des quatre coefficients des inocmmies étant différent de zéro, les deux numérateurs sont Mb en mime temps qtie le dénominateur y il y a inditermiuUon^ et les deux équations n'en font qu*une.

Tels sont les trois cas principaux qui se présentent dans hrésolation de deux équations du premier degré à deux inomuraes.

121. En général, quand l'un des numérateurs est nul en ofime temps que le dénominateur, l'autre est aussi nul. En

ha!

eiet,tt de réalité àb' — 6a' = o, on tire 6'= —et que l'on

substitue dans l'expression cV — bc\ on a

cb'—b€'=— —bc'= - [ca' — Qc'l a a^

oa

a{etf^bc) = '-^b(ac! — ca').