Â2 LIVRE II. — CHKV. IV
Lorsque le second numérateur sera nul, le premier le sera aussi, à moins que le coeiEcient a ne soit nul.
Remarquons que, dans le cas très-exceptionnel où les quatre coefllcients des inconnues sont nuls, sans que les seconds membres le soient, les valeurs données par les formules se présentent toutes deux sous la forme - , et cependant il n*y a pas indétermination, il y a au contraire impossibilité.
Questions résolues.
Question L On conhalt les poids ipéûifiques de deux mètaux eî Von demande dans quelU proportion il faut les wU^ langer pour obtenir un alliage ayant un poids spécifique donné.
On sait que le poids spécifique d'un corps est le rapport du poids d'un volume quelconque de ce corps au pends d'un égal volume d*eau. En d'autres termes, si Ton prend pour unité de volume le décimètre cube, et pour unité de poids te kilogramme, comme on fedt ordinairement dans les arts, on peut dire que le poids spécifique d'un corps est le poids en kilogrammes d'un décimètre cube de ce corps. D*nn autre côté on exprime la composition d'un alliage, en disant quel poids de chaque métal entre dans un kilogranixne d'alliage.
Représentons par a et 6 les poids spécifiques des deux métaux, par c celui de l'alliage ; et désignons par x et y les poids de ces deux métaiix qui entrent dans im kilogramme d'alliage. On aura d'abord l'équation
Cherchons maintenant le poids spécifique de Falliage,
comme si la composition en était connue, et exprimons qn*il est bien égal à c, nous aurons la seconde équation du problème. Le poids d'un corps est égal à son volume multiplié par le poids spécifique, et réciproquement le \'otame d'un corps est égal à son poids divisé par le poids ipécifique. Dans un kilogramme d'alliage il entre des poids X et y des deux métaux, les volumes occupés par ces deux
pmds 8oat exprimés par - et ^ ; et le volume d'un kilo-
graimne d'alliage est égal à leur somme - + ^ , en supposant toutefois que dans l'alliage des deux métaux , il n*y ât Di contraction ni dilatation. Le poids spécifique de l'alliage, étant égal à son poids divisé pai* son volume, sera
Mail ce poîda spécifique doit être égal à c ; on a donc Féquation
S Ton multiplie pai* le dénominatem* - + £ » cette équa-
\^\VC p<U' VQ UClJUlJJllJcilClU
tion devient
OQ
ex , eu
bcx-\-acy=^tib.
Ainsi les deux équations du problème sont
1&& LIVRE II. — CllAP. IV.
On en déduit
^—c{a — by ^-^cia — bY
La nature de la question exige que les deux inconnues aient des valeurs positives. Soit a > 6^ il faudra, pour que le problème soit possible, que Ton ait o ( et c < a, c'eat- * à-dire que le poids spécifique de l'alliage soit intermédiaire entre les poids spéciCques des deux métaux, ce qui est évident d priori.
Le problème de la couronne de Hiéron (n^ 18) est une application des formules précédentes. Le poids spécifique de l'or est 19,26, celui de l'argent 10,47* ^^ couronne perd dans l'eau 467 grammes, c'est le poids d'un égal volume d'eau; donc le poids spécifique de la couronne égale
Z^= 16,98. On fera
Question IL Résoudre le système des trois équations
(a) aX'\'by-\-cz = ky
Si de la seconde on retranche la première multipliée par c, on a '
Si de la troisième on retranche la seconde multipliée par c, on a de même
Retranchons de Téquation (5) l'équation (4) multipliée par 6, il vient
EXBRCICB8. 1&5
Une fois qu'on a trouvé la valeur de l'une des inconnues,
3 est &cile d'en déduire les autres par des considérations
de symétrie. On remarque, en effet, que les équations pro-
fortes ne changent pas lorsqu'on permute les deux lettres
s et f, a et 6. 1% donc on effectue cette permutation dans la
tmufe précédente, on obtiendra la valeur de y ,
ik-a){k-c) y [b-a)[b-cY
De même, les équations ne changent pas lorsqu'on pernrteles deux lettres y et z, & et c. Si donc, dans la valeur ie], on effectue cette permutation, on aura la valeur de z
Question III. Résoudre le système des quatre équations
ax + 6y + « + du = i , €?x + Vy + c*« + d}u = A* , a^x + Vy + c'z + d}u = *•.
Si de chacune de ces équations, on retranche la précé- <ieDte multipliée par d, on obtient les trois équations
{a—d)x + lb—d)y + {c — d)z=k—d, a[à — d)x + b(b—d)y + c(c — d)z = k(k-'d), (f{a — d)x + l^(b—d)y + c^c — d)z = k'(k—d).
Opérant de la même manière sur ces trois équations, retranchons de chacune d'elles la précédente multipliée par c, ooQs obtiendrons les deux équations
Si enfin de la dernière nous retranchons la précédente multipUée par fr, nous aurons
(a— 4)(a — c)(a--c/)arî=±(jfc — i)(JL- — fr)(A— (/)f
lAfi LIVRE II. — CH4P. IV.
d'où
(k-b){k-dHk-d^
En permutant les lettres 4 et b, puis les lettres b et Cf puis c et dj pn en déduit la valeur des autres inconnues
y-(i a)(j c)(é rf)' (A-a)(^-i)(^-^d)
'— (c a)(c— é)(c — rf)' (*.^a)(ft-6)(*-g) {rf-.a){rf~*) (</—«)•
Question IV. Résoudre le système des trois équations
On considérera dans ces trois équations les quantités
-, -, - connue étant les inconnues. En multipliant la prece y Si
raière équation par a, la seconde par 6, la troisième par c,
ajoutant les deux dernières en retranchant la première , on
trouve
d'où
Si Ton permute les lettres ai et y, a et 6 , on remarque que la première équatiou devient la seconda • la second^ la première, et que la troisième reste la même ; dope le système des trois équations ne change pas. Il en résulte que si, dans
EXBRCICBS. 1&7
la valeur de x, on effectue cette permutation , on aura la valeur de y
y 2ac
De même, A Yon permute les lettres y et x, b ai e^la. deudëme équation devient la troisième , la troisième la seconde , et la première reste la même ; le système ne change pas. De la valeur de y « on déduira donc celle de z par la permutation indiquée , ce qui donne
z aab
POHMUtES GÉNÉRALES POUR LÀ RÉSOLUTION DE TROIS ÉQUATI4 DU PREMIER DEGRÉ A TROIS INCONNUES.
122. Trois équations du premier degré à trois inconn peuvent toujours être mises sous la forme
(i) iMî + éy + ci = d,
(a) a'x + Vy + dz = d',
(3) a^x + fy + ez = d\
Nous résoudrons ces trois équations par une méth plus rapide et plus élégante que la méthode de substitut! Multiplions les deux premières équations par deux quant indétenmnées tu et n; ajoutons ces deux équations et tranchons la troisième, nous aurons
(4) (am + cln — or)x + (bm^Vn—b'')y + (m + c'n — c")« = dm + c/'n— d".
Les deux multiplicateurs tu et n étant arbitraires , peut en disposer de manière à annuler deux coefTicic de l'équation (4), par exemple les coefficients de y et d( Posons donc
(5) im + 6'n=4",
(6) cm+c'n = c\
l'équation (4) devient
(am + dn —a") a? = dm + d!n — d"; d'où
d^ + rf'n — d"
om + fl'n — a
iQUATIOHS GtNÉRALBS DU PREMIER DEGRÉ. l&O
Des deux équations (5) et (6), résolues au moyen des fonnules générales, on déduit
cV — bY M*—ch"
fn=''T—. r7-« n =
r > '• — lJ Ztjy
M — cb' ' bc'—cb
en substituant ces valeurs dans la formule (7) , et multipliant le numérateur et le dénominateur par 6c' — ch\ on a
d[éb''— Vc") + d\bd'— cb") — d'^ihd— eb') ^ ~ c^db"— b^c") + a'(bc"— cb") — a'ibt/ — cV) '
Changeons les signes du numérateur et du dénominateur, la valeur de x s'écrit
d{bfc''—(/b'') + d'icb^—bc") + d^jbtf—cbj ^ ■" a(b'(/'— c'b'') + a'icb"— bc") + a\bc'— cb]{
et, en développant les calculs,
,g. dbY— d(/b''+ cdV— bd'c"+ bc'd"— cb'd"
' ^~ ab'c''—ac'b''+ca'b''—baY+ bdaT—cUa"*
123. Remarque I. On pourrait calculer de la même manière les valeurs de y et de js. Mais il est plus simple de les
déduire de celle de x par des considérations de symétrie. Sur un cercle , et aux sommets d'un triangle équilatéral inscrit, plaçons les trois lettres a?, y, z, ainsi que les trois lettres a, 6, c; imaginons ensuite que le cercle tourne autour de son centre dans un sens convenable d'un tiers de circonférence, la lettre y prendra la place de X, z celle de y, x celle de 2; de même les lettres 6, c , a , prendront la place des lettres a , 6 , c. Ce changement dans Tordre des lettres s'appelle une permutation circulaire.
Si l'on opère une semblable permutation sur les équations proposées, elles deviennent
160 ilTRE II. — CHAP. V.
6y + C2 + ax = d, yy + c'z + a'a? = d',
et ne changent pas ; les valeurs des inconnues restent donc les mêmes. Or, si l'on effectue la permutation circulaire sur la valeur de x trouvée précédemment, on obtient
rfcV— db'c"+ adV — cd!ci' + cdd!'— add"
Cette valeur de y satisfait au second système d'équations et par conséquent au système proposé.
Si l'on effectue sur le second système d'équations une nouvelle permutation circulaire , le système ne change pas, et la valeur de y devient
__ ddb'— àVa:'^ bd'a"— adV + aVd"— ba'd" ^* °' ^ "^ caT — cb'a" + bc'a" — acV + abY — éaV '
En permutant une troisième fois, on retrouverait la valeur de X et ainsi de suite.
12i. Remarque IL A l'inspection des formules (8), (g) et (lo), on reconnaît que le dénominateur est le même; l'ordre des termes seulement a été changé. On voit aussi que le numérateur de x se déduit du dénominateur, en y remplaçant les coefficients a , a\ a" de l'inconnue x par lea seconds membres d, d', d". Les numérateurs de y et « s'obtiennent de la même manière. Il suffit donc de savoir trouver le dénominateur.
Nous avons formé le dénominateur pour deux inconnues, en écrivant les deux permutations
ab f — ba
des deux lettres a et 6, et affectant la seconde du signe — . Dans chacune de ces permutations , mettons la troisième lettre c & toutes les places , à la fin , au milieu et au com-
iQUÀTlOICS GÉMtllALES DU PHMlBR DEGRÉ. 161
menoement , et altenianft leè ftigoés , nous obtiendrons les itox gfoapeï
U premier termd de chaque groupe Ji le rigne du terme qui fa fourni.
Écrivons ce^ deux groupes l'un à la suite de l'autre , et daos chaque terme affectons la seconde lettre d'un accent, la troisième de deux acoehts, tious aurons aussi le dénomioateor commun
Diieuêsion.
125. Le système de trois équations à trois inconnues présente les mêmes cas principaux que le système de deux iqnatioiis à deux inconnues. Reprenons les trois équations
(i) ax-^-by-l-cz^d,
(3) a''ar + *''y + c'^2 = (r.
Écartons le cas très-exceptionnel où les neuf coeificients des inconnues seraient nuls à la fois, ce qui donnerait l'impossibilité ou Tindétermination absolue , et supposons que l'im de ces coefficients au moins, par exemple a, soit différent de ïéro. Nous pourrons résoudre la prenûère équation par rapport à a? et substituer dans les deux autres ; nous transformons le système proposé en un système équivalent
if\ d — by — cz
(5) [aV—hd)y-\- {ad —ca!)z = ad—dd ,
(6) (aô"— ba") y + [acf'-^) z = ad"—da\
Si les quatre coefficients des équations (5) et (6) étaient nuls à la fois, il y aurait impossibilité, ou indétermination, c'est44ire réduction à une seule équation. Ce cas excep-
152 LIVRE IK — €UAP. V.
tionnel écarté , nous supposerons que Tun de ces quatre coefiicients , par exemple oft' — ba\ est différent de zéro. Alors nous pouvons résoudre l'équation (5) par rapport à y et substituer dans l'équation (6) • Nous transformons ûnâ le i second système en un système équivalent
,,. d — by — cz (4) x = J ,
^^^ y- 'M=rM '
(8) Dz = A.
Nous représentons par D le dénominateur des formules, et par A le numérateur de z. La discussion est ramenée encore à celle d'une équation à une inconnue.
1* En général le dénominateur D n'est pas nul ; dans ce cas, l'équation (8) donne pour z une valeur finie et déterminée , et l'on déduira des équations (7) et (4) pour y et s des valeurs finies et déterminées. Ainsi , quand le dénominateur D n*est pas nuU le système des trois équations proposées admet une solution et n'en admet qu'une.
u"" Si le dénominateur D est nul sans que le numérateur A le soit, il y a impossibilité. Et ceci aura lieu de la même manière toutes les fois que , D étant nul, l'un des trois numérateurs au moins est différent de zéro.
S"" Si le numérateur A est nul en même temps que D, il y a indétermination. L^équation (8) devient une identité et les trois équations se réduisent à deux.
