CALCUL ALGÉBRIQUE. 3S
Prononcez . sept a trois, 6 deux, c. Il faut distinguer dans ce monôme les lettres a, 6, c qui le constituent » les exposants 3, 9, 1 dont ces lettres sont affectées (la lettre c, qui n'a pas d'exposant , est censée affectée de l'exposant i ; et en effet , la quantité c est la première puissance de c) et le multiplicateur 7 placé au commencement. Ce multiplicateur porte spécialement le nom de coefficient^ il indique que la quantité a%*c est répétée 7 fois.
Le monôme
qui n*a pas de coefficient , est censé avoir le coefficient 1 ; en effet , on a ici une fois la quantité a'6*c.
S2. On appelle degré d'un monôme entier par rapport à une lettre l'exposant de cette lettre ; degré par rapport à plusieurs lettres la somme des exposants de ces lettres.
Ainsi le monôme
est du troiâème degré par rapport à a , du second degré par rapport à 6 , du premier degré par rapport à c. 11 est du cinquième degré par rapport aux deux lettres a et 6, du sixième degré par rapport aux trois lettres a^b^ c.
On appelle degré d'un polynôme par rapport à une lettre le degré du terme dans lequel cette lettre est affectée du plus fort exposant. Ainsi le polynôme
est du troisième degré par rapport à x.
Lorsque tons les termes d'un polynôme sont du même degré par rapport aux différentes lettres qu'il renfenne, on dit qu'il est homogène. Ainsi le polynôme
est homogène et du troisième degré < parce que tous ses
ià LIVRE I. — GUAP. I.
termes sont du troisième degré par rapport aux deux lettres a et 6 qui entrent dans ce polynôme.
tJn terme qui ne contient pas une lettre est regarda conune étant du degré o par rapport à cette lettre. Ainsi le prenûer terme 2a'f qui ne contient pas la lettre 6, sera du degré o par rapport à b. Le dernier, qui ne contient pas la lettre a, sera du degré o par rapport à a ; de cette façon , on peut dire que dans tous les termes la somme des exposants égale 3.
33. Un polynôme indique une série d'additions et de soustractions à effectuer.
Ainsi le polynôme
Cl + 6 — c + d — € — f
indique qu'il faut ajouter la quantité a, puis la quantité 6, ensuite retrancher c , ajouter d , retrancher e et encore f.
Les termes affectés du signe '-{- sont dits paritifÉi les termes affectés du signe — sont dits négatifs. Le terme a, ^t placé au commencement^ n'a pas de signe» est po* sitif, et doit être considéré comme affecté du signe +j
Il est évident que la série des opiralians indiquieê par un polynôme renient à ajouter la somme des termes poeUifs et à retrancher la somme des termes négatifs.
Pour éclaircir ceci par un exemple, supposons que le polynôme représente les opérations d'un négociant dans le courant de la journée , les termes positifs étant les recettes, les termes négatifs les dépenses. Au commencement de la journée , le négociant avait en caisse une certaine somme d'argent ; il a fait d^abord une recette a et une seconde recette b ; puis il a payé c ; après quoi il a reçu ({, il a payé e et encore f. Il est évident qu'à la fin de la journée ' son avoir a été augmenté de la somme des recettes et diminué de la somme des dépenses.
Calcul ALGÉBaion. 35
Sok to polyoômo niunérique
La somme des termes positifs est Scj , celle des tertnes négatife 25. Il faut ajouter 3 9 et retrancher 23, ce qui revient à ajouter 16, excès de la première somme sur la seconde. Dans ce cas, la valeur du polynôme est positive; on l'écrit + 16.
Lorsque la somme des termes négatifs l'emporte sur celle des termes positifs , le polynôme n*en conserve pas moins une signification très-nette. Soit le polynôme
0 faut ajouter 16, somme des termes positif^, et retrancher 28, somme des termes négatifs; ce qui revient à retrancher 6 , excès de la seconde somme sur la première. Dans ce cas, la valeur du polynôme est négative; on l'écrit — 6.
Deux polynômes , et en général deux expressions algébriques , sont égales , lorsqu'elles ont lamème valeur affectée du même signe.
3&. n résulte clairement de ce qui précède que ïon peut changer à volonté l'ordre des termes d'un polynôme. Car, quel que soit l'ordre des termes, on a toujours finalement la même somme à ajouter et la même sonune à retrancher.
Ainsi les termes du polynôme
peuvent être écrits dans tel ordre qu'on voudra, par exemple dans l'ordre suivant
11 n'y a aucun inconvénient à commencer pai- un terme
36 UVRS f. — CHâP. I.
négatif. Pour revenir à notre comparaison, cela signifie que le négociant conunence par payer e^ qu'il reçoit ensuite d, qu'il paye /*, etc. Or rien n'empêche de supposer que le négociant a dans sa caisse , au commencement de la journée , une assez grande somme d'argent pour effectuer les payements.
Termes semblables.
35. On dit que deux termes sont semblables lorsqu'ils sont composés des mêmes lettres affectées des mêmes exposants, et qu'ils ne diffèrent que par les coefficients et les signes.
Soit le polynôme
Sd»— 4û*6 + 7a6» + a^b — aa^ — Sab^ + a* — laûô» -f- 3a-A. Nous voyons d'abord les trois termes semblables
que l'on peut réduire et remplacer par le seul terme + 4 <»*• En effet, la quantité a' doit être ajoutée 5 fois et encore i fois, c'est-à-dire 6 fois, et retranchée a fois, ce qui revient à l'ajouter 4 fois.
Nous trouvons ensuite les termes semblables
qui se détruisent. Car la quantité a*b doit être ajoutée 3 fois et encore i fois , c'est-à-dire 4 fois , et retranchée 4 fois. 0 reste les termes semblables
qui se réduisent à — 1 3a&'. Car la quantité ab* doit être ajoutée 7 fois et retranchée 8 fois et encore 12 fois, c'està-dire 20 fois, ce qui revient à la retrancher i3 fois. Ainsi le polynôme proposé s'écrit plus simplement
4a' — i3ai*.
CALCUL ALGÉBRIQOB. 37
Dans la pratique, on opère très-rapidement cette rédnctkm des termes semblables. Soient les termes semblables
faisant abstraction de la quantité a6% on ne considère que les coeflScients et les signes
+ 7 — 8 — la,
et l'on calcule la valeur — 1 3 de ce polynôme numérique ; puis on écrit — 1 5a6' an résultat , et Ton barre les termes réduits.
Ordonner un polynôme.
36. Après avoir réduit les termes semblables , on a coutume d'ordonner le polynôme, soit par rapport aux puissances décroissantes d'une même lettre, soit par rapport aux puissances croissantes, c'est-à-dire que Ton écrit les termes dans un ordre tel que les exposants de cette lettre aillent, soit en diminuant, soit en augmentant.
Ainsi le polynôme
est ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x. Ce même polynôme , écrit en ordre inverse ,
sera ordonné par rapport aux puissances croissantes. Le terme — 6, qui ne contient pas la lettre a:, sera regardé comme étant du degré o.
Quand un polynôme contient des termes de tous les degrés , à partir du degré le plus élevé , on dit qu'il est complet. Le polynôme étant supposé ordonné par rapport aux puissances croissantes , la série des exposants commence à zéro , et s'élève jusqu'au degré du polynôme inclusivement. Il y
88 LIVRE I. — CHAF. 1.
a donc autant de termes qu'il y a d'unités dans U degré p us un. Ainsi le polynôme précédent est un polynôme oomplet
du troisième degré, et il renferme quatre termes.
Lorsqu'un polynôme , contenant deux lettres , est homogène , si on l'ordonne par rapport aux puissances décroissantes de Tune d'elles, il sera en même temps ordonné par rapport aux puissance^ croissantes de Tautre ; car la somme
des esposant$ d^ d^ux li^ttrea ^tant la mdme Aum tou? les tennes, 31 les exposants de l'ime d'ellea vont en dinuQumt,
ceux de l'autre iront nécessairement en augmentant* Ainsi le polynôme homogène
qui a été ordonné par rapport aux puissances décrpisswtes de 0 , se trouve en même temps ordQuné pçur rapport aux puianwce» croissantes de 6.
▲DDITIOV ET 80U9TRAGTIOII.
Addition.
S7. Proposons-nous d'ajouter à un premier polynôme un second polynôme ; nous supposons que ce second polynôme sit une videur positive, c'est-à-dire que la somme des termes poâtifs l'emporte sur celle des termes négatifb. Ajouter ce polynôme, c'est ajouter sa valeur, en d'autres termes, c'est ajouter l'excès de la somme de ses termes positifs sur la somme des termes négatifs. Mais ajouter cette différence revient évidemment à ajouter les termes positifs et retrancher les termes négatifs , ce qui se fera en écrivant à la suite du premier polynôme tous les termes du second , chacun avec son signe. Ainsi :
Règle. A un polynôme on en ajoute un autre^ en écrivant à la suite du premier successivement tous les termes du second^ ehac^ avec son êign$.
