Exemple. Additionnez les polynômes
— aa* — 3a'6 + 8a'6* — yab'^ + ab' , 6a* — 20*4 — 1 5a*6' + 6ab* — aé* .
Imaginons que l'on ait écrit tous les termes de ces trois polynômes , les uns à la suite des autres , chacun avec son signe, en affectant du si^iie -^- le premier terme On* du
40 LIVRE I. — CHAP. ÏU
troisième polynôme ; réduisons les termes semblables, nous obtiendrons le polynôme
39. Remarque. On peut grouper dans ime parenthèse plusieurs termes d'un polynôme, en conservant à chaque terme son signe et mettant le signe + devant la parenthèse.
Par exemple, le polynôme
a — é + c — d — « + /" peut être écrit sous la forme
En effet, la parenthèse , précédée du signe -{-» indique Taddition du polynôme; si Ton effectue cette addition d'après la règle énoncé^, on reproduit évidemment le polynôme proposé.
Il n'y a pas à s'inquiéter de savoir si, parmi les termes mis entre parenthèses, la somme des termes positifs est plus grande que celle des termes négatifs, pourvu que Ton étende aux polynômes négatifs la règle démontrée pour l'addition des polynômes positifs.
Ainsi nous dirons qu'ajouter un polynôme quelconque, c'est écrire tous ses termes, chacim avec son signe.
àO. Il convient aussi d'appliquer la même règle à un terme pris isolément, et nous dirons qu'ajouter une quantité affectée du signe + ou du signe — , c'est l'écrire avec son signe. Soit, par exemple, le polynôme
Si nous mettons les quatre derniers termes entre parenthèses, nous écrirons ce polynôme sous la forme
ADDITION. ikl
La partie mise entre parenthèses est négative; mais ceci n offre aucun inconvénient , pnisqu'en effectuant l'addition d'après la règle énoncée , on reproduit le polynôme proposé. Remplaçons maintenant le polynôme entre parenthèses par sa valeur — 5 ; il s'agit d'ajouter — 5 ; pour cela nous écrirons — 5 , ce qui donne
Et en effet , dans le polynôme proposé , la partie
mise entre parenthèses, signifie qu'il faut ajouter 8 et retrancher i3 , c'esti-dire retrancher 5.
il. D'après cette manière de voir, Yaddiiion algébrique De comporte plus nécessairement l'idée d'augmentation. Si Ton ajoute une quantité positive , il y a effectivement augmentation; mais si l'on ajoute une quantité négative, il y a an contraire diminution. Ajouter — 5 , c'est en réalité retrancher 5.
n résulte de là que l'on peut considérer un polynôme comme étant la somme algébrique de tous ses termes , puis* que l'addition consiste à les écrire les uns à la suite des autres, chacun avec son signe. Cette manière d'envisager un polynôme est très-utile dans les applications.
Soustraction.
i2. La soustraction est l'opération inverse de l'addition. D'une quantité en retrancher une autre , c'est en trouver une troisième telle qu'en y ajoutant la seconde on reproduise la première.
Supposons que du polynôme
42 LIVBB 1. — CHAI*. II.
on veuille retmieher le polyndme
Je dis qu'on obtiendra le résultat demandé çn écrivant à la suite du premier polynôme tous les terme» du second* chacun avec un signe contraire , ce qui donne
En effet, si à ce troisième polynôme , nous ajoutoup le second, nous avons
ou, simplement,
en remarquant que les termes — d et -f- d se détruisent, de môme que les termes + <?, et — e, etc. C'est précisément le premier polynôme. Ainsi :
Règle. Pour retrancher d'un polynôme un autre polynôme^ on écrit à la suite du premier successivement tous les termes du second, en changeant le signe de chacun d'eux.
hif EiBMFLB. Du polynôme retrancher le polynôme
Écrivons à la suite du premier polynôme tous les termes du second , en changeant les signes , nous aurons
5û« — 4a«6 — 6ab^ + 6» — a» + ya^b — aai* + 56»,
et, en réduisant les termes semblables,
kk. Remarque. On peut grouper, dans une parenthèse précédée du signe — , plusieurs termes d'un polynôme, en
SOUBtRACTlOlf. 18
lyaot soin de changer lea rignea de tous les termes que Ton met dans la parenthèse.
Par exemple, le polynôme
peut être écrit sons li^ forme
En effet, la parenthèse, précédée dû signe -^, Indique la soostractioo d'un polynOme ; or» aï Top effectue PQMe wp^ tractioQ d'après la rëçle éQQ»cée« on reproduit éTidmuQ^t le polynôme propoaét
n n'y II pas i^ i'inquléter de savoir si, panni les termeiB m entre parenthèses , la somme des termça positifs est plus grande ou plus petite q^e la sommQ des termes négatif ; car la règle de Taddition ayant ^té ét$d)Ue d'une mani^ générale , celle de la soustraction , qui s'en déduit» a le même degré dç généralité; elle est yraie dans tous tes cas, qne la valeur du polynôme soit positive ou négative, qa'3 comprenne un seul terme ou plusieurs. Amsi , retrancher une quantité affectée d'un certain signe, c'est l'écrire avec un dgne contraire.
Soit, par exemple, le polynôme
Si nous mettons dans une parenthèse, précédée du signe — , les quatre derniers termes, en changeant leurs signes, nous éonrons ce polynôme sous la forme
La partie mise entre parenthèses est négative, mais ceci n'offre aucun inconvénient, puisqu'on effectuant la soustraction d'après la règle énoncée , on reproduit le polynôme proposé. Si nous remplaçons le polynôme entre parenthèses par sa valeur — 7, nous avons à retrancher — 7, ce qui se
hh LIVRE 1. — CHAP, II,
fait en chaDgeant le signe de cette quantité , c'est-à-dire en écrivant + 7 ; nous aurons donc
Et en effet, dans le polynôme proposé, la partie
— 4 + 9— 6 + 8> mise entre parenthèses , signifie qu'il faut ajouter 1 7 et retrancher 10, c'est-à-dire ajouter 7.
A6. De même que l'addition algébrique ne comporte plus nécessairement l'idée d'augmentation , la soustraction algébrique ne comporte plus nécessairement l'idée de diminution. Si l'on retranche une quantité po^live , il y a effectivement diminution ; mais si Ton retranche une quantité négative, il y a au contraire augmentation. Retrancher — 7, c'est en'réalité ajouter 7.
En résumé, si l'on considère les quantités comme affectées des signes + ou — , l'addition consiste à les écrire avec leurs signes, la soustraction à les écrire avec des signes contraires.
MULTIPUCATION.
iô. Je rappelle d'abord quelques principes qui nous seront utiles. On sait que, dans un produit de plusieurs facteurs, on peut changer Tordre des facteurs et les grouper à volonté sans changer la valeur du produit. On sait aossi que multiplier par un produit de plusieurs facteurs revient à multiplier successivement par chacun des facteurs. Ces principes ont été démontrés en arithmétique pour des nombres quelconques, entiers ou fractionnaires; on peut donc les appliquer en algèbre , où les lettres représentent des nombres quelconques.
&7. MuUipHcalion de deux puissances d'un même nombre. Soit à multiplier a"* par a". Multiplier par a" revient à multiplier successivement par n facteurs égaux à a, puisque a" désigne le produit de n facteurs égaux à a; d'autre part, a* désigne le produit de m facteurs égaux à a ; on a donc le produit de m + n facteurs égaux à a, ce qu'on écrit a*^". Abisi,
Par exemple.
Règle. On mullipUe des puissances d'un même nombre en ajoutant les exposants.
Une lettre qui n'a pas d'exposant est censée affectée de l'exposant i. Ainsi,
46 LIVRE I. — CHAF. llf.
AS. Multiplication de deux monômes entiers. Soit à faire le produit des monômes l^a*b\^d et 3a'6c'e*. Chacun de ces monômes exprime un produit de plusieurs
facteurs ; pour multiplier le premier produit par le second, il suffit de le multiplier successivement par chacun des facteurs du second , ce qui donne pour le produit demandé
4Xû*x6-Xc*Xdx5xa*xéXc'Xe*.
Si l'on groupe les facteurs de la manière suivante
4x3x(a'Xa»)x(6*X*)X(c*Xc')xdxc%
et si l'on effectue les produits indiqués dans les pai*en-
thëses f on a
laxa'x^'Xc'Xrfxe*;
ce qui s'écrit plus simplement
Ainsi ,
Règle. Pour multiplier deux monômes entiers^ on multiplie les coelficieiUs , on ajoute les exposants des mêmes lettres^ et Von écrit avec leurs exposants les lettres différentes.
&9. Multiplication d'un polynôme par un twnbre quelconque.
1"* Proposons-nous d'abord de multiplier un polynôme
par un nombre entier m. Il s'agit de répéter le polynôme m fois, c'est-à-dire d'additionner m polynômes égaux au polynôme multiplicande. Or, si l'on fait cette addition, on voit que chaque terme du multiplicande sera répété m fois avec son signe; en rédmsant, on aura donc
ma — mb -{-me — md.
Chaque terme du multiplicande sera donc multiplié séparément par le nombre entier.
MCLTiPLlGATlOM. 47
2'' Soit maintenaat à diviser le polynôme
par on nombre entier n. Il faut trouver un polyndme qui, multiplié par n , reproduise le polynôme dividende. Le quotient cherché sera
car si Ton multiplie ce polynôme par ft, ce qui se fait en multipliant chaque tenue séparément par n , comme nous l'avons vu , on reproduit le polynôme proposé. 5* Il est Bàsé maintenant de multiplier le polynôme
a — fc + c — d
par un nombre fractionnaire ~. Multiplier par une fraction —,
c'est répéter m fois la n' partie du multiplicande ; en d'auti^s
termes c'est diviser le multiplicande par n et multiplier le
résultat par m.
Divisons d'abord le multiplicande par le nombre entier n,
nous avons
pour multiplier ce résultat par le nombre entier m, il suffit de multiplier chaque terme pai* m, ce qui donne
ma mh me md
ou
— o* oA — c dé
Mais le multiplicateur — est un nombre quelconque que
nous pouvons représenter par la lettre e, et nous avons alors {a-'b-\'C — d)x,e^Beiae — be'\-c%*^de.
i8 LIVHB I* — CHAP. If.
Règle. Ainsi , on multiplie un polynôme par un nombre quelconque^ en multipliant chaque terme séparément par ce nombre 9 et donnant à chaque terme du produit le signe du terme correspondant du multiplicande.
