LIVRE 1V« — CHAP. III
55647 de 1 23 nnités du dernier ordre, il faudrait augmo d'une unité le nombre 35647 ; si Ton suppose les accr sements du nombre proportionnels à ceux du logarithi à une augmentation 102 dans le logarithme correspoi
dans le nombre une augmentation égale à — = o,
Mais il est plus commode de se servir de la petite t^ des parties proportionnelles : cette table montre qu'à augmentation 98 dans le logarithme correspond une a mentation 0,8 dans le nombre. Il nous reste 4 ; à l'a mentation 4o dans le logarithme correspond une augn tation 0,3 dans le nombre ; à l'augmentation dix fois ] petite 4 correspondra donc une augmentation OyoS. A à l'augmentation 102 dans le logarithme correspond augmentation o,83 dans le nombre. Le nombre chei est donc 35647*83 à im centième près.
218. On ramène toujours la caractéristique dulogaritl donné à être égale à A, sauf à multiplier ou à diviser suite le nombre trouvé par une puissance de 10.
Exemples : 1" Trouver le nombre qui a pour logaritl 5, 552033 2. Je retranche 1 de la caractéristique pour rame le logarithme dans les limites des tables , et je cherchi nombre qui a pour logarithme 4)5520332 ; c'est 35647, Pour revenir au logarithme donné, il faut ajouter 1 i caractéristique, et par conséquent multiplier par 10 : nombre cherché est donc 356478,3 à un dixième près.
2* Trouver le nombre qui a pour logarithme i,552o3 On ajoutera 3 unités à la caractéristique , et l'on chercl le nombre qui a pour Iogarithme4»552o332 ; c'est 35647, Pour revenir au logarithme proposé, il faut retrancher 5 à caractéristique, et par conséquent diviser par 1 000 ; le n bre cherché est donc 35,64783 avec cinq décimales exac
On voit qu'il y aun grand avantage à augmenter la cara
LOGARITUIDI^S. 277
rifitique de manière à opérer dans la partie la plus élevée des tables ; si Ton avait conservé la caractéristique i , on aurait trouvé le nombre 35,65 avec deux décimales seulement, tandis qu'en opérant comme on l'a fait, on a obtenu cinq décimales.
3* Trouver le nombre qui a pour logarithme 2,552o33a« Je cherche le nombre qui a pour logarithme o,552o332; c'est 3,564783. La caractéristique négative 2 indique qu'il fauit diviser ce nombre par 1 00 ; le nombre demiandé est donc o,o3564783.
219. n est aisé de voir que lorsqu'on remonte des logaritlmies aux nombres (avec les tables de Callet) , on obtient les nombres avec une approximation relative égale à un qtuitre'fnillionième. Soit, par exemple, 4^0359772 le loga* lithme donné. Il contient le logarithme de 1 o863, plus la différence 274, qui, divisée par la différence tabulaire 4oo, donne r augmentation o,685; le nombre cherché est io863,685. Evaluons maintenant Tapproximation. Quand le nombre varie d'une unité, le logarithme éprouve une variation ^ale à la différence tabulaire 4oo imités du septième ordre
dédmal ; il faut donc une variation de -; — dans le nombre
pour produire dans le logarithme ime variation d'une unité
^ septième ordre décimal ; ainsi on obtiendra le nombre à
^oins de j — près. Le nombre étant plus grand que 1 0000,
1* erreur relative est moindre que 7 . Dans l'exemple
^tuel, l'erreur absolue étant moindre que -; — ou que
0,0025, on n'est pas sûr du dernier chiffre 5 ; cependaint
comme il est approché à moins de trois unités , il est bon
de le conserver.
t78 LIVRB IV. — CHAP. III,
L'errôur absolue augttieiite à mesure qu'on s'élëfi Ift table 4 mÉÀê rerreùr relative reste la tnèiûb. Soi eimiple, 4,6010673 le logarithme deniié. L^erreur a]
commise sur le nombre s'élève ici à — ; mais le m
eat pkili grand que 40000; l'erreur relative esf'l
inoindrë que -, 1
Remarques sur t emploi des logarithmes.
200. MuLTiPucATiON. Lorsquc les facteurs sont grands que Vunité , oii, ajoute leurs logarithmes; il là aucune difficulté.
Lorsque certains facteurs sont plus petits que l'i leurs logarithmes ont des caractéristiques négatives ( diquent la division par des puissances de 1 0 ; on aui de retranéher ces caractéristiques négatives.
1^ Calculer le produit
Où cherchera les logarithmes des deux facteurs et ajoutera, ce qui donne le logarithme du produit ; p éherchera dans les tablés le nombre correspondant.
lôg 879,6349 = 2,94îî323o log 61,82407 = 1,7981261
iogx = 4î74o44o»
t"" Calculel^ le produit
X = 87,56349 X o,o628'24u7 log 87, 56349 = 1^9423230 log 0,06282407 = 2,7981261
k)ga?r=o,74o44jji r = 5,501095.
LOGARltHMBS. 27ft
En ajoutant les logaritbiilbé; ëà troutè il pëiil* }wtlé entière f nais comme il faut retrancher s , il reste o,
3* Calculer le produit
X = 87,5654g X 0,006280407 log 87,56349 = i,9423îs3o log 0,606282407 = 5,798 1 261
logx = 1,7404491
L'addition des Idgaritbmes donne 2 pour partie entière ; mais comme il faut retrancher 3, on ol)iient la caractéristique négative 1 .
4' Calculer le produit
lÔg 6,08756349 X 2,9423230
lo^ 0,066282407 = 3,7981261 log a? = 5,7404491 x= 0,0005501095.
L'addition des logarithmes donne 1 pour partie entière ; ^omme il faut retrancher 2 et 3 , c'est-à-dlfè 5, on a la ca-
^^téristique négative 4.
2îl; Division. On sait que pour effectuer une division, il faut du logarithme du dividende retrancher le logarithme ^u diviseur. Lorsqu'on n*a qu'une simple division et faire On peut procéder de cette manière; mais, quand on a une Bérie de multiplications et de divisions à effectuer, il est Jilus commode de n'avoir que des logarithmes à ajouter. Pour cela on transfomie les logarithmes à retrancher, de manière que leurs parties détsimales deviennent positives.
280 LIVRE IV. — cuAP. m.
Soit^ par exemple, à calculer
236,59 Xia7/t6 564,87
II faut retrancher le logarithme de 564987 , qui ea 8,7519485. On écrira
On aura donc
log 256,59 = 2,3736291 log 1 27,46 = 2, 1 053739
— log 564,87 = 3,248o5i5
logar= 1,7270545 a: = 53,54019.
Quand on a ainsi rendu positive la partie décimale c — log 564,87, on additionne les parties décimales destro logarithmes ; la soustraction ne porte plus que sur la c^ ractéristique, ce qui est une grande simplification. Soit encore à calculer
Il faut diviser par le nombre 0,0066487, qui a po« logarithme 3,7619485. On écrira
On aura donc
log 0,25659 = 1,3756291
log 1,2746 = 0,1055759
— log 0,0066487 = 2,248o5i5
log x= 1,7270545 â; = 53,34019.
LOGARlTUMiùS. SSl
222. Bemarquons cette manière de procéder : Pour retrancher un logarithme , on retranche une unité de la carac-^ tiristique changée de signe et l*on écrit à la suite le complet tnent arithmétique de la partie décimale.
Aiisi, dans le premier exemple, au lieu de retrancher s,75ig485, on a ajouté 3,248o5i5. La caractéristique s, changée de signe et diminuée d'une unité donne 3 ; en prenant l'excès de rudité sur la partie décimale 7519485, on obtient 248o5i5.
Dans le second exemple, au lieu de retrancher 3,75 1 9485, 00 a ajouté 2,248o5i5. La caractéristique 3, changée de signe et diminuée d'une unité, donne 2.
Quant à l'excès de l'unité sur la partie décimale du logarithme, ce qu'on appelle le complément arithmétique, on l'obtient aisément. De 1 il faut retrancher 0,7519486. Or, une unité vaut 9 dixièmes et 10 centièmes; 10 centièmes ^nt 9 centièmes et 1 0 millièmes, etc. L'unité égale donc 0,999999 P^^^ 1 ^ imités du septième ordre. En effectuant ^ soustraction de gauche à droite, on obtient le complé* ment demandé :
^, pour avoir le complément de la partie décimale d*un ^Sarithmey on retranche tous les chiffres de 9, en allant ^ gauche à droite^ excepté le dernier que Ton retranche
Jfeio.
Avec un peu d'habitude , on lit immédiatement le complément daïis la table, en regardant le logarithme.
223. Puissances. On sait qu'on élève un nombre à une puissance en multipliant son logarithme par l'indice de la puissance.
28î LIVRE IV. — CHAP. III.
1^ Calculer *== 5* ^ On cherchera d'abord le Id de 5, puis on multipliera ce logdrithnle par lo.
log 5 = 0^6^97000 log 0? 3= 6^9897000 X = 9765624* s* Galctda* tf?a=: MSteV
16g 0,4526 :t= T,636o865 log X = 2^9083595
En multipliant par S la partie âl dmale o,63( logarithme, on trouve i,968^5t|S; en multipliant caractéristique négatiTé — 1 , ôti A — S ; il fàiit don cbdr S de la partie entière du logarithme , ce ^
