n est à remarquer que, dans le calcul de l'aug

■entation du logarithme , on doit tenir compte seulement

des trois premiers chiffres décimaux du nombre proposé ;

• négligera les suivants, parce qu'ils n'ont pas d'influence

lorles sept premiers chiffres décimaux du logarithme. On de-

wnde, par exemple, le logarithme du nombre 1 io56,485s.

kftbB avoir cherché dans les tables le logarithme de 1 io56,

«a dira , à l'aide des parties proportionnelles placées au-

tesous de la différence SqS : à 0,4 correspond iSj, à 0,08

correspond 3i, à o,oo5 correspond 2 ; en tout 190 qu*il

laot ajouter au logarithme de 1 io56, ce qui donne

log 11056^485 = 4^0436170.

Le plus souvent même, le troisième chiffre décimal n*a pas d'mfluence sensible sur le résultat. Soit à trouver lé 'ogarithme de 46867,284. Après avoir trouvé le logarithme <1b 46867, on voit qu'à 0,2 correspond une augmentation it, à 0,08 une augmentation 7 ; le chiffre des millièmes ^i pas d'influence; il faut donc ajouter 18 4* 7 ou 25 au kprithme de 46867 , ce qui donne

log 46867,28 = 4,6708697.

Quand le chiffre des millièmes est plus grand que 5 , on kn» le chiffre des centièmes»

ils. Trouver le logarithme d^ur^ nombre décimal On de- Qi&de le l(q;arithme du nombre décimal 35,6478. On le

272 LIVRE IV. — ciiAP. m.

multipliera par une puissance de lo, de manière qu'il se rapproche le plus possible de la limite des tables. Si l'on opère avec les tables de Gallet, on multipliera par loooet on cherchera le logarithme du nombre 35647*8 ; puis on retranchera trois unités de la caractérisque ;

log 35647,8 = 4,552o328 log 35,6478 = i,55ao528.

211. IfouxitT le logarithme d'un nombre fractionMire. Il y a deux manières de procéder : ou bien on convertira le nombre fractionnaire en nombre décimal et on appliquera 1 ^ la règle précédente ; ou bien , mettant le nombre fraction' nsdre sous forme de fraction ordinaire, et remarquant qu'une fraction égale le quotient de son numérateiu* par son déno^ minateur, on retranchera du logarithme du numérateur 1^ logarithme du dénominateur.

Caracliristiques négatives.

215. Les deux progressions par lesquelles nous avo défini les logarithmes, nous donnent, avec une approxi mation aussi grande qu'on veut, les logarithmes de to les nombres plus grands que l'unité. Voici comment on définit les logarithmes des nombres plus petits que l'unité.

Imaginons que Ton prolonge les deux progressions vers la gauche , comme on les a prolongées vers la droite ; en ce qui concerne la progression géométrique , chaque terme étant égal au terme placé à sa droite divisé par la raison , on prolongera la progression vers la gauche en divisant par la raison ; de même , chaque terme de la progression arithmétique étant égal au terme placé à sa droite , moins la raison, on prolongera cette progression en retranchant la raison. De cette manière, les deux progressions de-

vieoB^t

— 3r. — 2r — r . o • r, 5ir.3r.4y'

les nombres-, -y, , plus petits que l'unité, auront ainsi

des logarithmes négatifs — r, — ar,

La propriété fondamentale des logarithmes , savoir que le l<^rithme d'un produit égale la somme des logarithmes des facteurs subsiste, pourvu que Ton entende que le logarithme du produit égale la somme algébrique des logarithmes des facteurs. En effet, dans la progression géométrique , prenons

d* abord deux termes 9*", —, le premier plus grand que

runité, le second plus petit ; si m > n , le produit de ces deux termes sera q""^ ; la somme algébrique des termes correspondants mr et — nr de la progression arithmétique est (m — n)r; c'est le logarithme du produit. Si m < n, le

Produit est -;;r5 ; la somme algébrique des logarithmes

•^ (n — m)r est le terme correspondant de la progression arithmétique 5 c'est le logarithme du produit. Prenons

^Qtiaintenant deux facteurs -;; et — plus petits que l'unité;

la somme des logarithmes — mr — wr ou — (m + n)r est

encore le logarithme du produit -^^ . Amsi , dans tous les

^, le logarithme du produit égale la somme algébrique ^es logarithmes des facteurs.

Le théorème relatif à la multiplication étant ainsi généralisé, ceux relatifs à la division, à l'élévation aux puissances et à l'extraction des racines , qui se déduisent du

Premier, ont le même degré de généralité.

$14 LIVRE IV. — Cliil^* Ht.

Reprenons maintenant les px*ogressions qui ont aMÉ définir les logarithmes vulgaires

: o^ooi : 0,01 : 0,1 : i : lo : loo : lopo :

Qf grp|png»ftns-:lp9 yer^ 1^ droite, pojnjiie noijs }'fHfpi|9 di on voit que tous les nombres compris entre i et o,i o leurs logarithmes compris entre o et — i , les nombres coj pris entre o,i eto,oi ont leurs logarithmes compris ent — 1 et — 2, les nombres compris entre o,oi et o,ooi o leiirs logarithmes compris entre — 2 et — 3 , et ainsi de suit

216. Mais, dans la pratique , on ne se sert pas de jp logarithmes entièrement négatifs ; on laisse positive la par décimale et on rend négative seulement la partie entil pu la caractéristique. On demande, par exemplei le Iqs rilbme du nombre o,o3526i. On trouvera dans l^fM>l^ logarithme du nombre entier 35261, qui est

Le logarithme du nombre décimal 3,6261, qui n'a qu' chi0Te à sa partie entière , est

Pciur pi^sseï* de c/^ dernier nombre à U fraction décîiq proposée, il faut diviser par lo' et par conséquent retn cher 2 imités du logarithme ; le logarithme du nombre ( (umal Q|03§96i e$t donc

ce qu'on écrit plus simplement

1^ par^e 4éc^nM^ restant pQsitiyp, )^ du^acténs^ij^e ^ s étant négative.

. LÛfiARITBllES. fi76

fin ppDt ieiiuffqiier qm la cara$tiriêiiqm uigëUffê 4m MmiÊtriUmê étw^ fraction décimaJe est igah au fang du gÊnmiir Aifffê rigniHoalif aprii la virguh.

U y fi tm grand avantage à laisser ainsi positive la partie

décimale du* logarithme d*un nombre moindre que Tunité;

<îiiand on a à calculer le produit de plusieurs facteurs , les

«ils phjui grands que l'unité, les autres plus petits, on

^ditiûBnera les parties décimales de tous les logarithmes

et on retranchera seulement les caractéristiques négatives ;

M qui est très-simple. Et d'ailleurs , c'est sous cette forme

que Ton obtient, au moyen des tables , les logarithmes des

lum^res plus petits que l'unité.

Nous avons écrit le logarithme du nombre o,o35fi6i sou| ii^ forme

laissant positive la partie décimale ; en effectuant la sous- ^i^^ction , on a le logarithme négatif

lisds si Ton employait les logarithmes entièrement néga- ^a, il faudrait additionner les uns , retrancher les autres, ^ qui aérait beaucoup plus compliqué.

Troutif le nombre qui admet un logaritkms denni.

21 7. Trouver le nombre qui a pour logarithme 4 , S 5 a 0 33i ^Vec les tables de Callet. On regarde dans les tables quel ^t ]b phis grand logarithme contenu dans le logarithme ^^imé) c'est 4i&&8093o qui correspond au nombre 356471 ^ nombre cherché est donc compris entre 35647 et 3^648. 1^ logarithme donné surpasse le logarithme de 35647 de ^.Q$ imités du septième ordre i or, la différence tabulaire ^t issf c'est-à-dire que si Ton augmentait le logarithme de