Remarques sur les accroissements des logarithmes

Ko examinant dans les tables la colonne des différences, on

^^ ces différences aller sans cesse en dimindànt. Par

^iQBpie, les Ic^arithmes des nemibres 486 et 487 diffèrent

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entre eux de 8937 unités du septième ordre, tandis ceux des nombres 48624 et 486s 5 ne diffèrent pins qn 89 unités du même ordre. Il est facile d'expliquer la a de cette diminution. Soient a et a + 1 deux nombres tiers consécutifs, la différence de leur logarithmes est

log(a + 1)— loga = log ^ii. = log (i + H;

or, à mesure que a augmente , 1 + - diminue et tend ^

l'unité : la diflérence tabulaire diminue donc et tend ' zéro. Si l'on prolongeait les tables indéfinûnent, cette d rence deviendrait infiniment petite.

Je donne au nombre a un accroissement constant q conque h; l'accroissement du logarithme

log(a + A) — log a = log (^^) = log (i + A

sera d'autant plus petit que a sera plus grand. Ainsi, j un môme accroissement absolu donné au nombre, l'aca sèment du logarithme diminue à mesure que le non augmente. Mais si l'on donnait au nombre un même acci sèment relatif (j'entends par accroissement relatif le 1 port de l'accroissement absolu au nombre lui-même ; nombre, par exemple, éprouve un accroissement relati j^ si on l'augmente de la j^ partie de sa valeur), 1 croissement du logarithme serait constant. En désigi

par k l'accroissement relatif, fc = -, l'accroissement di

garithme devient log ( 1 + '^) ; c'est une quantité consta si l'accroissement relatif reste le même.

226. Dans la recherche des logarithmes des nombi on a supposé les accroissements du logarithme pro]

tionnels à ceux dn nombre ; cette proportion n'est pas

exacte. En effet , si Ton donne au nombre a raccroisse-

I ment h , le logarithme subit un certain accroissement ; si

\ Ton donne au nombre a + A le même accroissement A, le

^ logarithme subit un nouvel accroissement plus petit que le

r premier; ainsi, quand l'accroissement du nombre devient

i double, l'accroissement du logarithme est tm peu moindre

' que le double ; et réciproquement, quand l'accroissement du

nombre devient moitié, l'accroissement du logarithme est un

peu plus grand que la moitié. L'emploi de la proportion

demie donc dans le passage des nombres aux logarithmes

des résultats un peu trop faibles , et dans le passage des

logarithmes aux nombres des résultats un peu trop forts.

Mais si Ton a soin d'employer toujours la partie la plus âevée des tables, l'erreur commise sur les logarithmes n'affectera pas les unités du septième ordre décimal ; et en effet, dans les tables de Gallet, on voit que la même différence tabulaire existe entre plusieurs couples de logarithmes Consécutifs. Par exemple, du nombre 68596 au nombre 69744 la différence tabulaire est la même. Dans cet intervalle, pour une unité d'augmentation dans le nombre, le logarithme subit un accroissement constant 63 ; pour deux , trois... unités d'augmentation dans le nombre, le loga- ^thme subit donc un accroissement deux, trois... fois plus graod, et par conséquent les accroissements du nombre sont proportionnels à ceux du logarithme , du moins au degré d*2ipproximation des tables.

GHAPITR6 IV.

DES IlITÉRÊTS COMPOSÉS.

â27. Ordinairement les intérêts d*un capital prêté 9 payent chaque année et constituent une i*ente ; mais il arrin quelquefois qu'on laisse les intérêts s'ajouter au capital, d manière que le capital s'accroisse d'année en année : c'tt là ce qu'on appelle capitaliser les intérêts, ou placer à â;^ rêls composés.

On a appelé taux de l'intérêt ce que rapportent i oo frann! dans un an ; mais dans le calcul des intérêts composés, : est plus commode de prendre pour taux l'intérêt de tin frai) en \m an, intérêt que pour abréger nous désignerons pari lettre r. Ainsi, placer à 5 pour loo, c'est la même chot que placer à o,o5 pour i; dans ce cas r = o,o5; placer 4,5o pour 100, c'est la même chose que placer à o,oi poiur 1 ; dans ce cas, r = o,o45.

pS. \a c^pitfd m franc , augmenté de son inté^^t, viff lèpres upç année , i + r» un capital 2460 franco y^ ii46o fq)aplu3, c'es^à-dire [\ +r) X94Q0 ou 9460 (1 4>i En général, si l'on représente pa^ a un capital qi^çon^q sa valeur au bout d'un an , par l'addition des intérêts, se a(i + f). Ainsi, on obtient la valeur d*un capital après u\ année en multipliant ce capital par ïunité augmentée 1 f intérêt de un franc.

Par exemple , le capital ^/^6o francs placé à 5 pour te vaut an bout d'un an 2460 x 1 ,o5 = 9583.

llfttB^Tâ COMPOSÉS. HT

P9M mi^ttw^\ que le capital n ao)t placé pen- «te, Après )uie Mfq^e ce capital ^e^mt ff (i + f) V »{iit|d dû à la fm 4e }fk preiiuère VM^é% et gui protêt pendant la seconde année. Vovfi f^veir ce qw 3 capital a(i+r) par l'addition des intérêts de la nnée , il faut le multiplier par i + r , ce qui fait i+f) ou a(i + r)'; tel est le capital dû à la fin 3nde année, et qui produit intérêt pendant la troilée. Pour savoir ce que devient ce capital a(i +0*9 ition des intérêts de la troisième année , il faut le r par i+r , ce qui fait a(i 4-r)'(i +r) PU q{i +f)*; capital dû à la fin de la troisième année, et gui prq- "et pendant la quatrième apnée. Le n^ême raisonleut être continué indéfiniment ; et conmie chaque ^uvelle introduit un nouveau facteur i + f » la vaapital , après n années, sera a (i +r)\ Ainsi , on 9 wleur i'un capital^ placé à inUféts compoits, Cfrlain nombre d'anné^s^ en multipliant ce capitql ileur d'un franc après un an, élevée à une puissance par le nombre des années.

c l'on désigne par A la valeur du capital après n >n a la formule générale

formule établit une relation entre les quatre quanréaentées par a, A, n, r , relation qui détermine alconque d^entre elles , quand on connaît les trois Où peut donc , à l'aide de cette relation, résoudre ces questions suivantes.

Pboblème I. Quelle est la valeur d'un capital placé

Is composés, au taux r, après n années?

la question traitée précédemment : on calculera A

lithmes.