VIII TABLE DES MATIERES

La dérivée d^une fonction quelconque est la limite vers laquelle tend le rapport de raccroissement de la fonction à l'accroissement de la variable, lorsque celui-ci tend vers zéro ... 1

Règles pour trouver la dérivée d'une somme, d*un produit, d'une puissance, d'un quotient de fonctions dont les dérivées sont connues •

Dérivée d'une fonction de fonction

Dérivées des fonctions circulaires direotes et inverses ....

Dérivées de la fonction exponentielle et de la fonction logarithmique :'

Une fonction est croissante ou décroissante, suivant que sa dérivée est positive ou négative

Des fonctions primitives • • • •

Deux fonctions qui ont des dérivées égales ne peuvent différer que par une constante

Revenir de la dérivée à la fonction primitive» dans le cas où cette opération peut se faire immédiatement

Application de la théorie des dérivées au développement des fonctions L(i + x) et arc tang x en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de x^ lorsque cette variable reste comprise entre — 1 et + 1 I

Calcul des logarithmes au moyen de la série qui donne le logarithme de n -f i , quand on connaît celui de n. — Calcul des logarithmes népériens. Valeur du module des logarithmes vulgaires. — Calcul des logarithmes vulgaires. . . i

Calcul du rapport de la circonférence au diamètre d'après la série arc tang x (i) i

(0 Partir, par exemple, de l'une des formules - = arc tang - + arc faog

^ 1 I it 1 1 .

- = arc tang - -f arc tang ~; -= 4 arc tang - — arc tang--r, aoxqiW-

conduit aisément le procédé de Machin rapporté par Bl. Ucroix dansTlD^ duction du traité des calculs différentiel et intégral.

TABLB DBS MATlàRBS. IX

THÉOAI£ DES iQUATIONS.

Page».

Goomeiit falie une fonction entière f{x) quand x varie d*une mannlëre continue entre — :x» et + ^ 173

lorsque deux nombres a et 6 substitués dans une fonction entière f[x) donnent des résultats de signes contraires» l'éqoation A^) = 0 a au moins une racine réelle comprise oitre a et 6. Toute fonction f(x) qui reste continue pour tontes les valeurs de x comprises entre a et 6, jouit de cette propriété 178

tue équation algébrique de degré impair a au moins une racineréelle 178

l}ne équation algébrique de degré pair, dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines réelles 179

Toute équation algébrique f(x) = 0, à coefficients réels ou imaginaires de la forme a+6 v^^^ , a une racine réelle ou iioaginaire de la môme forme (1) 180

^ a est racine d*une équation algébrique, le premier membre est diflsible par a; — a 181

Une équation algébrique du degré m a toujours m racines ''éellQB ou Imaginaires, et elle ne peut en avoir davantage. —Décomposition du premier membre en facteurs du preinier degré 185

lotions entre les coefficients d^une équation algébrique et les racines / 191

I^raqu^une équation algébrique, dont les coefficients sont fN8,a une racine imaginairea + b V— If elle a aussi pour l'scinel'expression conjuguée a — 6 V^^ 193

I)tt8 une équation algébrique, complète ou incomplète, le nombre des racines positives ne peut pas surpasser le nom"

(0 On ne demandera pas A l'ewroen la démonBtrallon de ce théorème.

X Table des MATiÈnsg.

ftn

bre des variations. — çonséqaenœ relative au nombre des racines négatives (1) • il

Recherche du produit des facteurs du premier degré communs à deux fonctions entières dex • . » % 21

Recherche des racines communes à deux équations dont les premiers membres sont des fonctions entières de Tinconnue. 9

Gomment on reconnaît qu'une équation algébrique a des ra* cines égales, et comment alors on ramène sa résolution à celles d*autres équations de degré moindre dont les racines sont inégales 9

Recherche des racines commensurables d'une équation algébrique à coefficients commensurables S

Différences des divers ordres !

Étant donnés m+i nombres Uq, ti^, ti,« ^.., $i^^ troiiTer : 1*' l'expression du terme général u^ en fonction du prra&iar terme u^ et de ses différences successives ; 2* TexpresBioii de À*" tf 0 en fonction des nombres proposés 1

La différence de Tordre m d'une fonction entière do degré m est constante, si la différence de la variable .est alla-tnème constante *••.•

Gonaissant les résultats de la substitution de m nombres entiers consécutifs dans unei'onction entière du degré «i* on obtient facilement , au moyen des différences, lesrésultati de la substitution de tous les autres nombres entiers pool» tifs ou négatifs.— Application au cas d'une fonction entière du troisième degré dont on connaît les valeurs correspon* dantesaux valeurs— 1,0, + if de la variable '

(1) On ne demandera à l'examen que la démonstration de cet énoncé théorème de DeKartes.

TABLÏ D£S MÀTliaBS. Il

Fonnota dlnterpolaHoD . 260

ApplicttfoD de la méthode d'interpolation de Newton à lareprésentation exacte d*une fonction entière f{x) du degré m dont on connaît les valeurs Mj» Wj, «„ u^ correspondantes aux valeurs de a;, x^^ x^ + /i, a?o + 2/i, x^ + mh. 270

Si la différence h et les quantités u^, Àti«, A'ti^, A"^^ sont

positives y x^-^-itn — )h est une limite supérieure des racines de l'équation /ra;)=0 271

APHJGàTIOll DE Là THÉOâlS DBS DIFFÉRElfClS A LA KÉSOLUTION

RDMi&lQUE DES iQUATIORS.

Séparation des racines d'une équation algébrique par la substitution de diflférents nombres à rinconnue. — Étude spéciale du cas d'une équation du troisième degré. — SubsU- ' tution de nombres entiers par le moyen des différences.— Substitution de nombres équldistants d'un dixième entre deux nombres entiers consécutifs; de nombres équidistants d'un centième entre deux nombres consécutifs de dixièmes» etc., soit pour séparer les racines, soit pour en approcher. — Ces dernières substitutions s'effectuent au moyen de nouvelles différences , déduites des premières. — Usage des constructions graphiques dans l'application de la méthode précédente 27&

Becherche des racines d'une équation transcendante. Lorsqu'on a substitué des nombres équidistants et assez voisins pour que les différences des résultats puissent être considérées comme égales entre elles à partir d'un certain ordre, on continue l'opération comme s'il s'agissait d'une équation algébrique 293

Ayant obtenu, avec un certain degré d'approximation, une >acine d'une équation algébrique ou transcendante, en ap-

Xlf TABLE DES MATIÈRES.

procl|9ikda«|tig| yailapé|io4|ÉB ^6^f^p#f48|l>4n

fiéCOUPOSITION DBS FttACTtOHS RATtORHELLES EN FRACTIOHS 8IIIPL1

Toute fraction rationnelle jj-r: est décomposable en une partie

entière et en diverses fractions simples. — La décomposition ne peut se fure. aye d>u^ seula auj^y^ei rr- Moyens de Tcffectuer quand on connaît les lacteurs Dinômes qui divisent le d^B,9pf}pfttQifrV{i,f}^p ^j.,.^.„ . ^f{/.i^>l,V/. • • •

APPENDICE. Note A. Résolution de deux équations du second degré à deux inconnues (i).« • «... «

Note B. Usage de la règle à calcul i •

(1] r.ette question fait partie du programme de géométrie analytique.

Nota. Les renvois à la première partie ùa l'Algèbre le rapportait 4* édition.

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riN DE hk TAbLK DES MATIKRBS.

EÇONS D'ALGÈBRE

DEUXIÈME PARTkE*