NOTIONS SUR LES NOMBRES INCOMMENSURABLES

Définition,

t Lorsqu'on veut mesurer une grandeur, on jcherche 6 commune mesure entre cette grandeur et l'unité. Si, ' exemple, la commune mesure est contenue 7 fois dans tiité et 4 fois dans la grandeur que Ton veut mesurer, te grandeur, étant égale à 4 fois la septième partie de lité, sera représentée par la fraction *. fais il arrive quelquefois que la grandeur et l'unité n'adttent pas de commune mesure, c'est-à-dire qu'il n'existe I de grandeur, si petite qu'elle soit, contenue exaclent dans la grandeur et l'imité. Dans ce cas, on dit 3 la grandeur est incommensurable^ et, comme il est im-

possible de la mesurer exactement, on se boroe à une éviluation approximative. Imaginons Tunité partagée «fi é grand nombre de parties égales, par exemple, en Bufli parties égales, et cherchons combien la grandeur à mesa rer contient de ces parties ; elle en contient, je suppose 728, plus un reste plus petit que Tune des parties; lagna deur à mesurer, étant plus grande que j^ , mais plus pe tite que ^^^, sera représentée par Tune ou l'autre de ce deux fractions, avec une erreur moindre que 1 miDièfflC

Si Ton avait partagé l'unité en un million de partie égales, on aurait obtenu la mesure de la grandeur ave une erreur moindre que 1 millionième.

Le nombre fractionnaire qui mesure une grandeur incoB mensurable, avec une approximation aussi grande qa'o veut, s'appelle un nombre incommensurable.

2. Les racines des quantités qui ne sont pas puissance parfaites, donnent aussi naissance à des nombres incoa mensurables. Appelons A un nombre entier non puissaiM n" parfaite, et plus généralement une fraction ordinweii réductible dont les termes ne sont pas des puissances k

parfaites ; je dis qu'il n'existe pas de nombre fractionnaire

qui, élevé à la n* puissance, reproduise exactement A. l

effet , la n* puissance de la fraction y est — ; comme t

peut supposer la fraction - irréductible, c'est-à-dire l

deux nombres a et 6 premiers entre eux, les deux pin sauces a** et V seront aussi premières entie elles et la to

tion -T- irréductible. On voit d'abord que cette fractii irréductible ne peut ôtre égale à un nombre entier A. El

NOMBRES INGOMMEJ^SURABLES. 3

j^ peut Qon plus 'être égale à une fraction irréductible dont Jp t&rmds ne sont pas des puissances parfaites ; car deux lilbctions irréductibles ne sont égales que si elles ont leurs ^eux termes égaux respectivement; la fraction proposée

iDFait ainsi ses deux termes puissances parfaitesi ce qui est

.jpDtraire à l'hypothèse.

' Hais on peut trouver des nombres fractionncdres r ^

■-^ — , qui ne diffèrent entre eux que d'ime quantité aussi

petite qu'on veut - (6 étant très-grand) , et dont les

«" puissances comprennent A. Écrivons en effet la quantité proposée À sous la forme

et désignons par a le plus grand nombre entier dont la %' puissance soit contenue dans A x ft** ; la quantité A x 6"

A ^^ 6" étant comprise entre oT et (a + i)**, la quantité — j^r-

, ou A sera évidemment comprise entre

Chacun de ces nombres fractionnaires - et "T , dont la

différence est aussi petite qu'on veut, et dont les puissances coraprennent la quantité proposée A , est ce que Ton appelle la racine approchée de A ; on la désigne par le symbole v'X

^' est aisé de voir que ce nombre fractionnaire j ou

4 M.. ' CM4l^Wfirilv>l;|HKO/

rep]îé$ente, avec une approxim^cni l^ls^l(,gcwfjf6; q[^*j veut, une, çertaiiie grandeur incQmme2|s^ra))let,;|Cooff^ rons en effet, d'une part, les no^ibreç dpnt }ipi;».,CMlHlJ! sauces sont inférieures à A; d'aujtij'e p9it^,,çf;ttz 4ffl{fbj| puissances sont supériem*e8 à A» et iifff^w9,^ef,4ffflilrt ries de grandeurs commensurables de mèii)^,e^p^^|;fg||| sentées par ces nombres. Les grandeurs de la^ première ri rie sont plus petites que celles de la seconde ; la différm

^ entre une grandeur ^ de la première' sêrïe et) umign

deur ^'t'^ de ,1a seconde série peut être vendue iiMl

petite' qu^On veut. On conçoit îdonc (jù'entre ■' ces tm séries de grandeurs comméîisurâbïés/il' existé unci^^ déuFîncômiiiensurabïe unique et déterminée qui ^îié^i limite ' coihiiîune ; c'est cette' grandeiir incomâiëtisuiw

que représente le synabole y A.

;3i On a vu, en géométrie, plusieurs exemples de gnol deurs iflcofùmensurs^Ies. Ainsi, on a démontré que la 4ii gonale d'ua carré est incommensurable par rapport at oM

prispouv unité : elle est représentée pàï» le symbole \/iIt même la ciîcoiiférencë d'un cercle est incommensuraM par mpport au diamètre pris pour unité; maïs le noDatt incclmm^ensurable qui mesure la cit^conférence ne '^ commet le précédent, être obtenu par des extràctSiMH 1 racines; on le désigne par la lettre it. :;:•'.'

Cclculdes nombres inoommensuriibletk' iiMnoi

à. Le calcul des nombres incommensuraiblesn'oirea outt^ diiBquké« Les nombrei^ /ineommeDSttnMes jilMa

NOMBRES 'iRliftitfilSiClSURABLBS. 5

ÙSè Skéiié/'^xitJ^^^SBS dôndbred fractiotinaires approchés, *W'-claii'''llîtè feë ôpértttiofis portent f^nt ces nombres

Moiifaàk%sfi' le résultet sera Ini-même un nombre fraciotedife ^iiplprochél ^î représentera, avec tine erreur fifflttiîtit 'ï)ettté; ùtfé grahdenr détefminé^, en général il!littiilëi»tifablë.'''

iSWK/um..' Supposons d*abord qu'il s'agisse d'additionner Sa' noîiiBres incommensurables. Si l'on prend les deux on^cBs. par défaut^ puis par excès, on a une première )mme plus petite que la seconde; d'ailleurs ces deux MfiDM ■ diffèrent entre elles aussâ peu ' qu'on v^ut; donc |bf çpmpxfpnent une, grandeur déterminée qu'elle^ re- [j^teut avec i^pe approximation indéfinie. Cette granejir^est la somme des deux grandeurs incommensurables ^résjButéeis par le^ . nombres in commensurables .. prooséa.

Simstraction. Il en est de rnème de la soustraction : si in4)PeDd le phis gnuod nombre par défaut, le secotid par ikèê; ou y réciproquement, le premier par excès, k secorid » défaut^ on » ^ne première diiTérence plus petite <jae la IcoD^e, et ces deux différences diffèrent entr^Ç: elles d'une WBtitë aussi petite qu'on veut; donc elles comprennent Wl grandeur qu'elles représentent avec une approximation l^jinie. Cette grandeur est la différence des grandeurs icoDopensurables q^^ représentent les deux nombres in- )iDmensurables proposés.