T = P4.P, + 3S, = SÎ — 3SA + 3S

Si les m quantités a, 6, c, , I sont les racines d'une

équation algébrique du degré m,

toute fonction entière symétrique de ces quantités s'exprimera rationnellement au moyen des coefficients de l'équa* tion.

Note E. — * Sur Tiliminatian.

266. On doit à H. Sylvester une méthode très-élégante pour effectuer l'élimination d'une inconnue entre deux équations algébriques à l'aide d'un déterminant. Supposons qu'il s'agisse d'éliminer l'inconnue y entre deux équations à deux inconnues x et y. Considérons d'abord le cas simple où les deux équations sont du second degré par rapport à y ; soient

(Ay' + By + C=o,

les deux équations, dans lesquelles les lettres A, B, G, A\ B\ G désignent des fonctions de x. Si l'on remplace y par

^ , les équations prendront la forme homogène f<i\ j Ay«4.Byz + Cz»==o,

En multipliant chacune de ces deux équations par y et par js, on obtient le système des quatre équations

Ay+Byz+cy»

Ay2+Byz« + Gz» = o,

Si les équations (1 ) sont vérifiées par up syatèmt de var leurs attribuées |i x et à y, I(;s équations (2) seront vérifiées par la même valeur de o;^ y et z ayant des valeurs indéterminées ; les équations (S) , que Ton peut considérar comme un système de quatre équations du premier degré entre les quatre, inconnues y*, y'z, yz*, z' seront aussi vé* rifiées par une infinité de valeurs attribuées à ces inconnues; on en conclut que la valeur de x doit annuler le déterminant relatif à ces équations. 8i done on égale à zéro le déterminant

on aura l'équation à laquelle doit satisfaire Tinconnue x.

En général, soit m le degré de la première équation et n

le degré de la seconde, par rapport à y; en remplaçant

y par - , on mettra les deux équations sous la forme

(4) A^»4'A,«îr-'+A^»y-»-h + A^5=o.

(5) A;y»4-A;«y"-tH,A;««»-»+ -hA>ss<»,

ÊLlIlIMTIOlf. IM

Si l'oû mtiltîj)lié efisuité la pt-etolèfe êquatldû par y*-*, ty*^*.

on formera \xû Éysiëmé de n 4- ^ équatloos du prettièi^ dégté ètitre les th -f H indônnuéè

En égalant à zéro le détémtnatlt félatt^ & ce âyi^tétne d'équations du premier degré, on obtk^ndra l'équation à laquelle doit satisfaire Finconnue x.

267. On peut à l'aide des fonctions symétriques trouver le degré de Féquatioti résultante. Supposons que Téqua*^ lion (4) que nous désignons par f^y) =7 o* soit du degré m par rapport aux deux inconnues x et y, et l'équation (5) du degré n; les lettres A^ et A', désignent des constantes que nous réduirons à l'unité, les lettres A^ et A'^ des po-r lynôoies du premier degré en x^ les lettres A, et A'| des polynômes du second degré, etc.; en général l'exposaot de £ indique le degré de chaque coefficient. Concevons que Ton attribue kx une valeur convenable; appelons y^, yi,

yi, yai^i les m racines de l'équation (A), et de même

y'^, y',, y',, y'^| les n racines de l'équation (5); pour

que les deux équations soient vérifiées simultanément, il faudra que l'une des n racines de la seconde équation vérifie la première, c'est-à-dire que Tune des n quantités

?(yi). ?(yD. ?(yi) ?(y»-i)

soit nulle; cette condition sera remplie si le produit

(6) î* = ?(yl) X ^(y[) X ^{y[) X <p(yLi)

est nul Ce produit est une expression rationnelle par rapport aux coefficients de la première équation; comme c'est

392 NOTB fi.

une fonction symétrique entière des racines de la seconde équation, on pourra aussi l'exprimer rationnellement au moyen des coefficients de cette seconde équation, 'ainsi que nous rayons expliqué dans la note précédente; en égalant à zéro l'expression rationnelle ainsi obtenue, on aura l'équation à laquelle doit satisfaire l'inconnue a?. Si Ton met f (y) sous la forme

?{y) = (y— yo) (y- y*) (y— y—i).

on voit que le produit

P=(yi-^yo)(yi— yO - (yi — y«-i) x (yi' — yo)(yl — yJ -

est composé demn facteurs binômes. Concevons maintenant que, dans les deux équations proposées, on remplace z par zt^ c'est comme si l'on multipliait par t toutes les racines des deux équations ; les mn facteurs binômes qui composent P seront multipliés par t, et par conséquent le produit lui-même sera multiplié par T* ; on en conclut que les différents termes du polynôme P, tel qu'on les déduit de la forme (6) par les fonctions symétriques, contiendront le facteur 2"**; chacun des coefficients des équations (à) et (5) étant par rapport à x d'un degré égal à l'exposant de z, il en résulte que le polynôme P est du degré mn par rapport à x. Ainsi le degré de l'équation résultante est égal au produit des degrés des deux équations proposées.