RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ
premier terme, celui que rou obtient quand on prend les premiers termes dans tous les facteurs binômes, est
De celui-là on pourra déduire tous les autres en permutant deux lettres plusieurs fois successivement et changeant le signe à chaque permutation.
Si deux lettres, telles que a et 6, deviennent égales entre elles, le facteur 6 — (t se réduisant à zéro, il est clair que le produit est nul. Mais il faut remarquer en optre que les termes du produit se détruisent deux à deux; soît, par
exemple, le terme ± aM'ftV ; Si dans ce terme ott
permute les deux lettres a et 6, et qu'on change le signe, àù obtient un autre terme q=6MVc*... du produit; or, quand on fait a = fr, ces deux termes, devenant égaux et de signes contraires, se détruisent.
255. Dans le polynôme précédent, que nous avons défini par un produit de facteurs binômes, concevons que Ton remplace les exposants par des indices, il est évident que les mêmes propriétés subsisteront. Le premier terme de ce nouveau polynôme sera
ûiV» *.*•
Si Ton permute deux lettres quelconques, et qu'on change les signes, on reproduira le même polynôme. On pourra donc du premier terme déduire tous les termes en permutant deux lettres plusieurs fois successivement et changeant le signe à chaque permutation. Si deux lettres deviennent égales, les termes se détruiront encore deux à deux^ et le polynôme deviendra égal à zéro.
Le polynôme que nous venons de former s'appelle le déterminant relatif au système des quantités contenues dans le tableau suivant :
«1» ^1^ <^ij *i/
^29 *i> ^îi • • • • • Ai»
«»> *î> c»> ..... Aj,
«n> *•> <^nj
An-
Chaque terme du déterminant contient comme facteur un sombre de chacune des lignes horizontales et un seul, et de même un nombre de chacune des colonnes verticales.
Il a été démontré que, lorsqu'on remplace les nombres d'une colonne verticale par ceux dune autre colonne vertioalei le déterminant est identiquement nul. De même, quand on remplace les nombres d'une ligne horizontale par ceux d'une autre ligne horizontale, le déterminant est identiquement nul; considérons, par exemple, le terme ±a|d,6|C^.«...; la permutation des deux indices i et 3 dans ce terme, revenant à la permutation des deux lettres a et
i, donne un terme désigne contraire ^o^djb^c^ ; quand
deux indices deviennent égaux, les termes deviennent dona égaux et de signes contraires , et le polynôme s'annule.
256. Un système de n équations du premier degré à n inconnues peut être mis sous la forme suivante :
»rP + *iy+ + A.«^ = A,»
Ifnâginoiié fo^mé te détet-tninani relatif au système des coefficients des inconnues dans ces éiqiiationâ, et représentons par D ce polynôme. Tous les ternies cofatenâûl la lettre a ttït fôiâ et âeuleihéht tlné fois, ttûus pourrons ôrdonhèr <^ polynôme par rapport ka^.a^^ a» '
RÉSOIUTION DES ÉQUAtldll^ bU PRBMIER DBGRÉ« H^
lëé 'qtlâûtîtés Â, , A^, ... né contenant plus la lettre a. Nous sàv'ôiîs que, isî Ton remplace la lettre à par Tune des autres lètljrêà, lé polynôme devient nul ; on à donc les relations
AA + A,4j + -f-AA = o,
Â^Cj-i- A,c,+ ..... +A^n = o,
A^ftj + AjAj -+-;....+ A A == o* .
Cela posé, multiplions les équations proposées, là pt*émlèfâ
par Aj, là Seconde pal* A,i là troisièthe paf A^, ; la
déï*niè!?é pâï A; et ajotitôaâ^ le Coefficient de x sera lé )^^ lyûôme D; léâ tôèlBciéiitâ.dês autrèS inconnues^ d'àj^ï*! teà i^Mîèi» ^fécé^ntês, iréroàf àuls^ on âùhi ddnè
b* = AA+ÀÀ + ^ÂÀ,
Aiû'i + Ajtt, 4- i ; .. . i + A A* Lfe iàétèrinînàat est lé dénoittiiiateuir comniùo. Où obtiefli le Ébmérisitéttr relatif à thaquë ihcohfaijé fett ^femplaçaûlt âkns lé déhôâlMt^Ur les coëfiicieûts de Tincânôûe par les âëèonds liiefilbM des î^^ÙàtibnS.
NoTfe B. ^^ fhèàHïne iur U nombre des racines 'StMe iqù'àtion htgèbriqiie.
257. Nous iwons expliqué (nH44)€ottîroeBtoarepré8«|ll| les quantités imaginaimâ par des grandeurs géoRiétriquses. Dans un plan^ marquons un point fine o et traçons une dreîj^ auaite fixe oxt une qttuatité imaginaire a^ =s r (cos + i^W ^ serik r^réôeatée par une longueur dm égi^ £|u iQBdd« ft
