NOMBRES INCOMMENSURABLES

tien — irréductible. On voit d* abord que cette fraction

irréductible ne peut être égale à un nombre entier A. Elle ne peut non plus être égale à une fraction irréductible dont les termes ne sont pas des puissances parfaites; car deux fractions irréductibles ne sont égales que si elles ont leurs deux termes égaux respectivement; la fraction proposée aurait ainsi ses deux termes puissances parfaites» ce qui est contraire à Thypothëse.

Mais on peut trouver des nombres fractionnaires j- et

a -4— 1 l' ' » qui ne diffèrent entre eux que d^une quantité aussi

petite qu*on veut - ( 6 étant très-grand ) , et dont les

n" puissances comprennent A. Écrivons en effet la quantité proposée A sous la forme

Axé"

et désignons par a le plus grand nombre entier dont la

n' puissance soit contenue dans A x 6"; la quantité A X 6**

Axft** étant comprise entre a** et {a + i)**, la quantité — j^ —

bu A sera évidemment comprise entre

Chacun de ces nombres fractionnaires -r et — ~ , dont la

différence est aussi petite qu'on veut, et dont les puissances comprennent la quantité proposée A, est ce que Ton ap-

h LlVfiE J, CHAP. 1.

pelle la racine approchée de A ; on la désigne par le symbole \/T.

Il est aisé (ïe voir que ce nombre fractionnaire -z ou

représente, avec une approximation aussi grande qu'on veut, une certaine grandeur incommensurable. Considérons en effet, .4' une part, les nombres dont les n'* puissances sont inférieures à A ; d'autre part, ceux dont les puissances sont supérieures à A, et imaginons les deux séries de grandeurs commensurables de même espèce représentées par ces nombres. Les grandeurs de la première série sont plus petites que celles de la seconde ; la différence

j- entre une grandeur - de la première série et une grandeur "T de la seconde série peut être rendue aussi

petite qu'on veut. On conçoit donc qu'entre ces deux séries de grandeurs commensurables, il existe une grandeur incommensurable unique et déterminée qui en est la limite commune; c'est cette grandeur incommensurable que représente le symbole {/a.

3. On a vu, en géométrie, plusieurs exemples de grandeurs incommensurables. Ainsi, on a démontré que la diagonale d'un carré est incommensurable par rapport au côté

pris pour unité : elle est représentée par le symbole v/2. De même, la circonférence d'un cercle est incommensurable par rapport au diamètre pris pour unité; mais le nombre incommensurable qui mesure la circonférence ne peut, comme le précédent, être obtenu par des extractions de racines; on le désigne par la lettre tc.