DES NOMBRES INCOMMENSURABLES

Définition.

1. Lorsqu'on veut mesurer une grandeur, on cherche une commune mesure entre cette grandeur et Funité. Si, par exemple, la commune mesure est contenue 7 fois dans Tunité et 4 fois dans la grandeur que Ton veut mesurer, cette grandeur, étant égale à 4 fois la septième partie de l'unité, sera représentée par la fraction *.

Maïs il peut arriver que la grandeur et Tunité n'admettent pas de commune mesure, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de grandeur, si petite qu'elle soit, contenue cxac-

tement dans la grandeur et T unité. Dans ce cas, on dit que la grandeur Bsiincommemurable, et» comme il est im* possible de la mesurer exactement, on se borne à une évaluation approximative. Imaginons T unité partagée en un grand nombre de parties égales, par exemple en mille parties égales, et cherchons combien la grandeur à mesurer contient de ces parties ; elle en contient, je suppose, 728, plus un reste plus petit que Tune des parties ; la grandeur à mesurer, étant plus grande que j~^ mais plus petite que Y^i sera représentée par Tune ou l'autre de ces deux fractions, avec une erreur moindre que 1 millième.

Si Ton avait partagé Tunité en un million de parties égales, on aurait obtenu la mesure de la grandeur avec une erreur moindre que 1 millionième.

Le nombre fractionnaire qui mesure une grandeur incommensurable, avec une approximation aussi grande qu'on veut, s'appelle un nombre incommensurable.

2. Les racines des quantités qui ne sont pas puissances parfaites, donnent aussi naissance à des nombres incommensurables. Appelons A un nombre entier non puissance n* parfaite, et plus généralement une fraction ordinaire irréductible dont les termes ne sont pas des puissances n'"

parfaites ; je dis qu'il n'existe pas de nombre fractionnaire ^

qui, élevé à la n' puissance, reproduise exactement A. En

CL fl*

effet, la n' puissance de la fraction t est r;^ ; comme on

peut supposer la fraction - irréductible, c'est-à-dire les

deux nombres a et 6 premiers entre eux, les deux puissances a* et 6" seront aussi premières entre elles et la frac-