CHAPITRE IL

Interpolation.

209. Supposons que Ton ait trouvé par un moyen quelconque les m+ 1 valeurs

que prend une fonction lorsqu'on donne à la variable m + » valeurs

Interpoler^ c'est trouver les valeurs de la fonction pour les valeurs intermédiaires de la variable.

Par exemple, on a calculé les logarithmes des nombres entiers de loooo à looooo. Interpoler, c'est trouver le logarithme d'un nombre fractionnaire compris dans l'un des intervalles.

Autre exemple : par des expériences directes, on a mesuré la tension maximum de la vapeur d'eau pour des températures de 10. en 10 degrés, depuis loo jusqu'à 200 degrés. Interpoler, c'est trouver la tension de la vapeur pour une température intermédiaire.

Le problème de l'interpolation n'est pas déterminé, parce qu'on ne connaît pas en général la nature de la fonction, mais seulement certaines valeurs particulières, et qu'il est imposible d'en déduire rigoureusement les autres valeurs; on conçoit, en effet, qu'il existe une infinité de fonctions qui prennent des valeurs données pour m + 1 valeurs de la variable, sans qu'elles se confondent pour cela dans les intervalles. Afin de bien mettre ceci en évidence, iinagi-

296 LIVRE vu, CHAP. II.

nons que Ton représente les valeurs données de la fonction

par des ordonnées, et supposons que Von trace une courbe passant par les m+ i points M,,, Mj, M, ,...., ainsi ob* tenus ; l'ordonnée de cette courbe représentera une certaine fonction u = f{x) admettant les m + i valeurs données; si maintenant l'on donne à x une valeur inter^ médiaire OP quelconque et que Ton mesure la longueur de l'ordonnée correspondante MP, on aura la valeur cherchée de la fonction; la courbe tracée résout donc le problème de l'interpolation. Mais il est évident que par les m + 1 points donnés, on peut faire passer une infinité de courbes. Ces diverses courbes donneront pour la même valeur OP de X des valeurs différentes MP, M'P. Ainsi il y a indétermination. Si l'on emploie une courbe pour effectuer rinterpolation, ce qui est un moyen très-commode dans la pratique, on aura soin de la tracer aussi unie que possible, en évitant les sinuosités inutiles.

En algèbre, on effectue l'interpolation en cherchant une fonction entière du degré m qui admette les m + i valeurs données. Alors la question est complètement déterminée; nous démontrerons, en effet, qu'il existe toujours une fonction entière du degré m jouissant de ces propriétés, et qu'il n'en existe qu'une. Une fois cette fonction trouvée, on pourra calculer les valeurs qu'elle prend pour des va.

leurs intermédiaires quelconques de œ; maïs ces valeurs calculées ne doivent être considérées que comme des valeurs approchées de la fonction inconnue. On conçoit que les erreurs commises seront d'autant plus petites que le nombre des valeurs données sera plus grand et surtout que les intervalles seront plus petits.

Formule de Lagrange. *

210. La question que nous avons à résoudre est la suivante : trouver une fonction entière du degré m qui admette m+ 1 valeurs données

«o> ^iJ "«> > «-

pour m + 1 valeurs données

de la variable x.

Proposons-nous d'abord de déterminer une fonction entière du degré m qui prenne la valeur u^ pour x=x^i et

s'annule pour les m valeurs a?, , a?, , rc» de la variable x.

Ce polynôme entier du degré m, que nous désignerons par

X^, , devant admettre les m racines x^ , a?, , a?« , sera de

la forme

X^=: A^(X — X,)[X'-X^) (X — Xj.

On déterminera la constante A^ par la condition que le polynôme prenne la valeur u^ pour a;=a;^, ce qui donne la relation

Uq = Aq (Xq — x^i [Xq — x^j (Xç^ x^j ;

d'où

• (a?,— ar,)(x,— a?,) ..... (x, — x„)'

on aura donc

X {œ^x,){x—x,) (a?~arj ^

Proposons de même de déterminer une fonction entière du d(^ré m prenant la valeur u^ pour a? =0?^ et s' annulant pour les m valeurs x^^x^^x^^ a?», de la variable a?. Ce polynôme, que nous désignerons par X^, devant admettre les m racines a?^^ , a?, , a?j , x„,^ sera de la forme

et Ton déterminera la constante A^ par la condition que le polynôme prenne la valeur ti^ pour x == a?^, ce qui donne la relation

d'où

et par suite

* {^1 — ^o)(^i — ^sX^i— ^a) ••••■• (^i — ^fn) **

Nous formerons, suivant la même loi, une fonction entière Xj du degré m qui prenne la valeur w, pour x=x^ei

s'annule pour les m autres valeurs x^^x^^ a?,, x,„ de

la variable a:, etc. ; enfin une fonction entière X« du degré m prenant la valeur Wm pour M=:a:m et s'annulant pour les m autres valeurs x^j x^^ x^^ x^^ de la variable x.

Revenons maintenant à la question proposée. Il s'agit de trouver une fonction entière du degré m qui admette les m + 1 valeurs données

pour Içs m+ 1 valeurs

de la variable x. Il est clair que la fonction

somme des m+ 1 fonctions précédentes, jouit des propriétés énoncées; car si Ton fait a; =0?^, la fonction X^ prenant ja

valeur u^ et chacune des autres X^ , X, , X,» s' annulant,

on aura u=Uq. De même si Ton fait ^=a?, , la fonction X^

prenant la valeur m, et chacune des autres X^, X, , .Xm

s' annulant, on a w = Mj; et ainsi de suite. Enfin, si Ton fait x=x„,, la fonction X^ prenant la valeur u„^ et chacune des autres s' annulant, on aura U£= u«,.

Ainsi la fonction cherchée u est donnée par la formule suivante, trouvée par Lagrange,

(x—x^){x-^x;\ (x-^-xJ ^^

211. Nous avons trouvé une fonction entière du* degré m jouissant des propriétés énoncées. On démontre aisément qu'il n'en existe qu'une, c'est-à-dire que si deux polynômes entiers du degré m sont égaux pour m + 1 valeurs de a?, ils sont identiques. Soient en effet,

Ax** + Bx*^' + H,

ces deux polynômes; en les retranchant l'un de l'autre, on aurait une équation du degré m

ayant m + i racines, ce qui est impossible. Il faut donc que les coefficients soient respectivement égaux, et alors les deux polynômes sont identiques.

Formule de Newton.

212. La formule de Lagrange est générale ; elle est vraie quelles que soient les m-f- 1 valeurs données à la variable; celle de Newton se rapporte spécialement au cas où ces valeurs sont en progression arithmétique.

Soient

a?oi ar^ + *i ^o^^^f a?o + wA, ir<j+ mh

les m + 1 valeurs données à la variable x;

«0, Wi, U^, ..... Wn, W«

les valeurs correspondantes de la fonction u. Avec ces wi+ 1 valeurs on peut former les m différences successives

Reprenons la formule (a) du n® 201 «n==«o+-K+-7;;- A u,+....+ ^—^ A II,,

qui exprime un terme quelconque de la suite proposée au moyen du premier et de ses n différences successives. Le second membre s'arrête à AX ; mais on peut, sans inconvénient, le prolonger jusqu'à A*"tiç et récrire de la manière suivante

(1) „, = a;. + -A«,+ -l^AX+

car les termes ajoutés ainsi, contenant le facteur n — n, sont nuls. Appelons a; un terme quelconque x^+nh de la progression arithmétique, et t* la valeur correspondante w^ de la fonction. Nous posons x=Xf^ + nh; il en résulte

n = — j--^. Si l'on remplace n par sa valeur dans l'équation (!}, il vient

On voit d'abord que le second membre de l'équation (B) est une fonction entière du degré m par rapport kx; carie second terme est du premier degré, le troisième du second,

; le dernier, étant un produit de m facteurs du

premier degré, est du degré m; ce terme du degré m, ne pouvant se réduire avec aucun autre, subsistera nécessairement dans le polynôme qui sera ainsi du degré m. On voit ensuite que cette fonction prend les m+ 1 valeurs données u^, Wj, u^ pour les m+i valeurs données

de x; car si dans cette fonction on remplace x par un terme quelconque x^+nh de la progression arithmétique,

ou — 7— ^parn, elle devient évidemment égale au second

membre de l'équation (l), c'est-à-dire à la quantité u».

Ainsi la formule (B) nous donne bien la fonction entière du degré m, qui, pour m -|- 1 valeurs données de x en progression arithmétique, prend les m+i valeurs données M^ , w^ ........ Mtn. C'est la formule d'interpolation de

Newton. Elle contient, non pas précisément les valeurs

302 LIVRÉ va, CttAP. II.

données de la fonction, noais les différences successives qu'on en déduit» et ceci est un grand avantage, parce que, ces différences diminuant très-rapidement, on se bornera dans la pratique aux premiers termes, et on négligera tous les autres.

213. Afin de simplifier, posons — 7—^=2» la formule (B) devient

Si Ton interpole dans le premier intervalle, c'est-àdire de x^kx^+ h, z est une fraction moindre que Funité.

Lorsque les différences d*un ordre supérieur au premier sont assez petites pour qu'on puisse les négliger, la formule se réduit à ses deux premiers termes

L'accroissement w—w^j d6 la fonction est proportionnel à Taccroîssement zde la variable ; on dit dans ce cas que l'on interpole par parties proportionnelles. C'est le mode trèssimple d'interpolation que l'on emploie quand, au moyen des tables de logarithmes, on cherche les logarithmes des nombres fractionnaires. Réciproquement, sî Ton veut trouver la valeur de la variable qui rend la fonction égale à une

quantité donnée 1*, on a z= — — ^.

Quand on conserve les deux premières différences, la

irfTERPOIATlON. 305

formule d'interpolation devient

, z(js— i) .

Alors la question inverse se résout au moyen d'une équation du second degré» dont on calculera la racine comprise entre o et i , l'autre racine étant en général très-grande à cause de la petitesse du coefficient de jï' (i" partie, n* 160).

Exemples.

!• Trouver la fonction entière du troisième degré, qui admet les valeurs 5,-8^ — 9, 8, pour les quatre valeurs o, 1, 2, 3 de la variable. Le tableau des différences donne w^, = 5, AMç= — 13, AX=**^» ^X=6^ substituant dans la formule (B) , on a la fonction cherchée

t« = 5 — i3j; + 6a?(^— 1) -f-^^ — i)(a: — 2), ou, en ordonnant,

2* Trouver la fonction entière du quatrième degré qui admet les valeurs 1, — 13, 3, 7,-19, pour les cinq valeurs — », — 1 , o, 1 , 2 de j?. On formera les différences

u^= 1, Aw^=— 14, AX=3o, AX=— '4aj aX— a4,

que Ton substituera dans la formule (B) , ce qui donne

w== 1 — 14(0; + 2) + i5[x + 2)[X'\- 1) — 7{x+ 2)(x-f- ij-c + (x+2J(x+i)j;(a?— 1),

ou, eo ordonnant,

' 30i LIVBE vu, GHAP. II.

S^* La fonction u=\ogx a pour différences successives

A'M=log(a?-f-2A) — alog{x-f-A)+loga:=log(i -] j — alog( i +-)

A'M = log(a(r+3A) — 3log{a: + 2A) + 3Iog(j: + A) — loga?

Pour/i=i etx=iooo, on a

A u = o,oooo4 34270 76863, A'w = — 0,00000 00043 42076 , ùk^u 1= 0^00000 00000 00868.

On voit que les différences décroissent très-rapidement; la différence seconde étant moindre que Tunité du huitième ordre décimal, on peut la négliger lorsqu'on prend les logarithmes avec sept décimales, comme cela a lieu avec les tables de Gallet, et interpoler par parties proportionnelles.

Limite des racines d'une équation algébrique.

214. Nous avons déjà indiqué (n* 185) une manière de trouver une limite supérieure des racines d'une équation algébrique. La méthode des différences fournit aussi une limite. Imaginons que. la fonction entière u=^f(x) du degré m soit représentée par la formule (B)

comme nous venoDS de l'expliquer, et supposons que toutes les quantité^

soient positives, la raison h de la progression élant aussi positive. Si Ton donne à la variable x une valeur supérieure h,x^ + (m — i)ft, tous les facteurs binômes que renferme le second membre deviendront positifs; car le dernier

qui est le plus petit d'entre eux, acquiert alors une valeur positive; la fonction étant une somme de termes positifs, a nécessairement une valeur positive. Il en est de même si l'on donne à a? la valeur x^ + {m — i)hi car cette valeur, annulant le dernier facteur binôme et par conséquent le dernier terme, mais laissant positifs tous les autres, le polynôme sera encore une somme de termes positifs. Ainsi, X croissant indéfiniment à partir de x^'{'{m — i)fc, la fonction conservera toujours une valeur positive sans devenir nulle; donc Téquation /'(a;)=o n'a pas de racine positive égale ou supérieure à la quantité a?j,+ (^ — 0'*- Omette quantité est une limite supérieure des racines positives de l'équation; on donne en général ce nom à toute quantité positive plus grande que la plus grande raison positive.

Dans l'exemple du n* 205, nous voyons que, pour a?= 5, le polynôme a une valeur positive 8 et que les différences correspondantes 4 1 9 3o, 6 sont aussi positives. En faisant fc = 1 et ûpQ = 3 dans la foi*mule x^ + (m — i)ft, on en condut que 5 est une limite supérieure des racines de Téquation

S06 LIVKE Vil, CHAP. II.

De Blême, dans Fcxempïe du n* 206, nous voyons que pour 07=6 le polynôme a une valeur positive 5;, et que toutes les différences correspondantes sont aussi positives; car, pour les former» on n'ai^rait à additionner que des quantités positives. Le degré m étant ici égal à 4» on en conclut que 6 + 3 ou 9 est une limite supérieure des racines de Téquatioa

Mais le groupement des termes fournit en général une limite moins élevée. Si Ton écrit les deux équations précédentes sous la forme

it [x^ -{-Sx — 17) 4- S^ = 0, ^

on reconnaît que 5 est une limite supérieiu^e des raciœsde la pçemière, 7 une limite supérieure des racines de la seconde.

215. Le tableau des différences donne aussi une limite inférieure des racines. Supposons que, pour la valeur x^ attribuée à la variable a?, la suite des quantités

présente des signes alternés; je dis que x^ est une linaîte inférieure des racines de l'équation. Car si Ton donne à x une valeur plus petite que x^ en valeur relative, chacun des facteurs