Soit maintenant un polynôme du quatrième degré

On subsistuera directement à la place de x les quatre nombres — 1, 0, 1, 2, ce qui donne les quatre valeurs correspondantes — 13, 3, 7 — 19, avec lesquelles on forme trois différences premières 16, 4» —26, deux différences secondes — 12, — 3o,et une différence troisième —18; on connaît d'ailleurs la différence quatrième, qui est constante et égale à i.2.3.4*A0/i^ ou 24, puisque la fonction est du quatrième degré ; les différences suivantes sont nulles. Ou a ainsi tout ce qu'il faut pour pouvoir effectuer le calcul et le prolonger dans un sens ou dans l'autre.

— la

— ii3

207. Considérons, en général, une fonction entière u=f{x) du degré m; supposons que l'on donne à la va-

rîable m valeurs en progression arithmétique

^0^ ^o+*> ^o + aAi 7 x^+(m—i)h,

et que Ton connaisse les m valeurs correspondantes v

«0» ^i> Wj, , w«,j

de la fonction. Avec ces m valeurs, on formera m — i différences premières, m — 2 différences secondes, , et

enfin une différence de Tordre m— 1 . La fonction étant en- , tîère et du degré m, on sait que la différence d'ordre m est constante et égale à i. 2...,.wA<jft**, et que les différences suivantes sont nulles. On a ainsi tout ce qu'il faut pour calculer le tableau des différences; si Ton effectue le calcul par lignes obliques en descendant» on obtiendra les va<leurs de la fonction qui correspondent aux termes suivants x^ + m/t, a?o + (m + 1 ) fc,. . . , de la progression arithmétique ; si, au contraire, on remonte par lignes horizontales, on trouvera les valeurs qui correspondent aux termes précédents aj^—ft, x^ — 2ft, En résumé, le calcul de m valeurs par substitution directe suffit pour que Ton puisse trouver toutes les autres.

Il est à remarquer que la substitution directe d'un nombre a à la place de x s'effectue assez simplement d'après le procédé du n" 162. On opérera sans rien écrire comme si Ton voulait diviser le polynôme par x — a: le reste est le résultat cherché.

Signification géomélrique des différences du premier et du second ordre.

208. Suj>posons que Ton porte sur la ligne horizontale OX, à partir du point fixe 0, des longueurs OP^,, OP,, OP, , , égales aux valeurs a?^^ o^, , or,, . • • . . , que l'on donne

NLJij

Po Pi

20& LLYBE TU, CBAP. I.

à la variable x et que Ton élëye des perpendiculaires ou ordonnées PoM^^, PiMj, P,M,,.., égales aux valeurs correspondantes w^^, u^ u,. . .

de la fonction. Si par les

points M^ , M, , on mène

des horizontales M^No^Mj^N^,..» jusqu'à la rencontre des ordonnées précédentes, on voit que les différences premières Ate^, Au^ ...... seront représentées par les longueurs

MoN<>, M^N^, affectées du signe + ou du signe — , suivant que les ordonnées vont en augmentant ou en diminuante Dans le cas où les valeurs de x sont en progression arithmétique, par les deux points M,, M^, faisons passer une droite jusqu'à hi rencontre de la première ordonnée en G^,; par les deux points M,, M,, une droite jusqu'à la rencontre de la seconde ordonnée en G^, et ainsi de suite; les longueurs M^Gq , MjGj , prises avec le signe + ou le signe —, représenteront les différences secondes A'wo» A*Wiv En effet, les triangles M^N^^G^, , M^N^M, sont égaux, et l'on a N,G,=M,N,=Aw,;doncM,G,=N,G,^MA=A«,-Au,= A'w^j , etc. Lorsque la différence seconde est positive, le point Gj^ est au-dessous de M^^ et la courbe tourne sa concavité vers le haut; c'est ce qui a lieu dans la première figure. Lorsque la différence seconde est négative» le point G^> est au-dessus de H^t et la courbe tourne sa concavité vers ]e bas ; c'est le cas de la seconde figure.

INTfiftPOIATION. 305