CHAPITRE IIL

CALCUL DE^ RACINES HfCOftfMENSURABLES DE» ÉQUATIONS AEGÉBRIQUEé.

Équation iu troisième degré. '

216. Nous avons indiqué (liv. VI, ch. 4) la manière de ttoufer les racines commensurables d'une équation algébrique. Occupons-nous tnaintenant du calcul des raciues încommensurables. La première chose à faire est de séparer les racines, c'est-à-dire de former des intervalles Comprenant le» racines'réelles de Téquation, de manière qu'il r'v ait qu'une racine dans chaque intervalle. Pour effectuer la séparation des racines, on sub^itue ordinairement des nombres équidistanls, et quand il s'agit d'une équation algébrique, on abrège beaucoup les calculs par le moyen des différences.

Reprenons T équation du troisième degré

x^ + ou:* — lyx -j- 5 = o.

La règle de Bescartes montre* que cefté équation a une ràdue réelle négative, et 2éro ou deux racines posi(ives. Kn

SOS UVA£ va, CHAP. 111.

substituant âiréctenient les trois nombres — i, o, + ii et continuant le calcul par les différences, comme nous TavoDs expliqué au n* 205, on obtient le tabletiu suivant :

Lepolynôme ayant des valeurs de signes contraires pour a? =0 et a: =1, on en conclut qu'une première racine réelle positive est comprise entre o et i ; la seconde racine positive est comprise entre 2 et 5; la racine négative entre — 6 et — 5. L'équation proposée a ses trois racines réelles, et ces racines sont séparées.

On a ainsi les racines à moins d*une unité près. Pour avoir Tune d'elles à un dixième près, on substituera des nombres équidistants d'un dixième dans Tintervalle qui la comprend. Par exemple, pour trouver la racine comprise entre 2 et 3, on substituera des nombres équidistants d'un dixième entre 2 à 3. On pourrait substituer directement trois nombres 2 ; 2 , i ; 2 , 2 ^ puis continuer par les différences ; mais on évite la substitution directe des deux nombres 2,1 et 2,2 qui entraînerait à des calculs assez longs, en

RACINES mCOMMENSCBABLES. S09

cherchant les différences successives qui se rapportent à âT=2 quand la racine de la progression arithmétique devient égale à — et déduisant ces nouvelles différences des

premières.

217. Voici une manière simple d'effectuer ce calcul pour le cas spécial du troisième degré.

Soit f(x) un polynôme du troisième degré. On a, d'après ce qui a été dit au n® 204 ,

Uf[x) = h^f\x) + fix) ^ + r"W j;^] = hax), A»/(*) = A«[/;'(*)+/',"(x) j^] = AY,(*),

Le polynôme f^{x) est ici du second degré, et le polynôme f^{x) du premier degré. Si l'on remplace les dérivées de ces polynômes par leurs valeurs,

m=mx)=r{x).

il vient

A f{x) = f'(x)h -f -ffl- A* + ffl h\

La différence troisième est constante. La seconde exprès^ sion peut êti'e remplacée par une autre plus simple; car on a par définition

AY(^ - A) = AY(x) - aY(x - A) ,

810 UYBB Vn, CHAP. m.

d'où Y(m déduit

AY(x — A) = AY (x) — AY(a^ — À) = /"'(^r)**.

n en résulte finalement les relations suivantes :

AAW = A W^ + • 1 r '^'Y^*

Nous femarquons que f"'(x)h^ égale la différence troisième, que /'"(^)fc* égale la différence seconde antérieure, c'est-à-dire celle -qui correspond kx — ft, et que, pour trouver f(x)h^ il faut de la différence première retrancher la moitié de la différence seconde antérieure, et le sixième de la différence troisième.

Supposons maintenant que la raison de la progression arithmétique devienne dix fois plus petite, c'est-à-dire égale

à — , et désignons par 8 les différences qui correspondent

à cette nouvelle progression; pour trouver ces nouvelles différences, il sufllra, dans les expressions précédentes, de

remplacer la lettre A par 8 et h par — , ce qui donne

lOOO 1000

f''[x}h* AYt-^ - h]

00 JOO

La comparaison de ces formules avec les précédentes nous donne les règles suivantes ? 1» On obtient la nouvelle diffé-

RACINES INGOMMËNSUaABLES. 311

rence troisième en divisûtu par i ooq Ï ancienne différence troi^ sième. 2"" On obtient la nomelle différence seconde antérieure en divisant par loo t ancienne différence seconde antérieure. 3** Pour trouer la nouvelle différence première^ de Vancienné différence première retranchez la moitié de Vancienné dif-* férence seconde antérieure et le sixième de la différence troi^ sième^ divisez le résultat par lo et ajoutez^y la moitié de la nouvelle différence seconde antérieure et le sixième de la dif^ férence troisième*