Exemple I. Appliquons cette méthode à Téquation

Cette équation a une racine comprise entre et 1 ; pour calculer cette racine à un dixième près, nous supposerons que la raison de la progression arithmétique, qui était

l'unité, devienne égale à — , et nous formerons le tableau

Nous supposons ici que, dans lés formules de transformation, a? = o. En divisaiU par 1000 l'ancienne différence troisième 6, on a la nouvelle 0,006; l'ancienne différence seconde antérieure 6, celle qui correspond à a? = — i, di-

visée par loo, donne la nouvelle différence seconde antérieure 0,06, celle qui correspond à — 0,1. Si de l'ancienne différence première — iS, on retranche 3 + i=4, c'està-dire la moitié de la différence seconde antérieure 6 et le sixième de la différence troisième 6, on a —17, valeur de f(o); divisant ce résultat par 10 et à - i»7» ajoutant o,o5 + 0,001 =o,o3i , c'est-à-dire la moitié de la nouvelle différence seconde cintérieure 0,06 et le sixième de la différence troisième 0,006, on a la nouvelle différence première — 1,669. Avec cela on peut continuer le tableau. On voit que la racine est comprise entre o,5 et o4*

Si l'on veut obtenir cette racine à un centième près, oii partagera l'iulervalle de 0, 5 à 0,4 en dix parties égales;

la raison de la progression arithmétique, qui était —, de-

vient égale à ; on déduira donc les nouvelles dîffé-

rencês des précédentes d'après la règle énoncée.

-o,iooo52

-148909 -i48iâ3

Les nouvelles différences renferment six chiffres décimaux; pour abréger, nous les écrivons en transportant la virgule de six rangs vers la droite. La racine est comprise entre o,3i eto»32.

Pour avoir la racine à un millième près, on partagera en dix parties égales l'intervalle de o,3i à o,39, et des der*

RAGINES INCOMMENSURABLES. 31^

nières différences on déduira les nouvelles d'après le même procédé.

o,5io

— i483ao3i

— o,oiia5a8o6

La racine est comprise entre o,3i S et o,Si4*

219. Exemple IL Dans l'exemple précédent, les racines ont été séparées par la substitution des nombres entiers ; mais il n'en est pas toujours ainsi. Dans ce cas, on examine dans quel intervalle sont situées les racines qui n'ont pas été «séparées, et l'oir partage cet intervalle en dix parties égales. Soit l'équation

Le tableau de substitution des nombres entiers

— la

314 uvR£ VII, CHAP. m.

ne présente qu'un changement de signe, de —Sa— -4; il y a une racine négative dans cet intervalle; d'ailleurs, l'équation transformée en— a; n'ayant qu'une variation, l'équation proposée n'admet pas d'autre racine négative. La condition de réalité des racines (n° 194) étant ici satisfaite, il en résulte que l'équation a deux racines positivesi mais elles ne sont pas encore séparées. Tous les nombres entiers positifs donnent en effet au polynôme des valeurs positives; on le reconnaît dès que a? = i; car lorsqu'on arrive à une ligne oblique composée de nombres positifs, les calculs suivants, consistant à ajouter les uns aux autres des nombres positifs, conduiront toujours à des résultats positifs. D'ailleurs la valeur du polynôme pour a;=i, et les différences correspondantes étant positives, le nombre 3 est une limite supérieure des racines ; ainsi les deux racines positives sont comprises entre o et 3, et elles sont toutes les deux situées dans le même intervalle; il s'agit de voir dans lequel. Considérons pour cela l'équation

que Ton obtient en égalant à zérq la dérivée du premier membre de l'équation proposée; nous savons (n* 190) qu'entre les deux racines positives de l'équation proposée, il y a une racine de la dérivée-, cette racine est la racine

positive l/i, supérieure à i, mais. inférieure à 2. L'intervalle qui comprend les deux racines cherchées, devant comprendre aussi la quantité 4/7 est celui de 1 à 2. Afln

de séparer les racines, nous partagerons cet intervalle en dix parties égales.