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286, L'emploi de la méthode de Newton exige quelques précautions particulières. Nous avons supposé que Tintervalle de x^ à x^ ne comprend qu'une racine du polynôme f{x); nous supposerons, en outre, que la première dérivée ainsi que la seconde dérivée ne changent pas de signe dans cet intervalle. L'arc de courbe GMD est convexe et le signe de la seconde dérivée indique de quel côté cet arc tourne sa concavité ; la concavité est tournée vers le haut ou vers le bas, suivant que la seconde déri* vée est positive ou négative. Afin d'être sûr d'approcher davantage de la racine , on mènera la tangente au point G quand f(x^) et f"{x^) auront le même signe; au point D quand /"(a? J et f'{x^) auront des signes contraires. Dans le premier cas, posant a? = a?^>+a, on aura la formule de cor-
rection approchée a = — ^^-^y Dans le second cas, po-
i(x ) sant 0? = X, + * » on aura a = — [;. *; ( a est positif
dans le premier cas, négatif dans le second).
Pour se convaincre de cette règle, il suffit de tracer la figure dans les diverses dispositions qu'elle peut affecter. La figure 1 du numéro précédent se rapporte au cas où /(^o) ®^ f\^ù on* ^®s valeurs positives; la figure 2 au cas où f{x^) et f"{x^) ont des valeurs négatives; la tangente au
M% tlVRB VU, CttAP. IV.
point C étant placée entre la courbe et rordonnéé CA, rencontre Taxe horizontal en un point Q situé entre A et B ; on voit d'ailleurs que le point M est compris entre les points P et Q; là méthode d'interpolation par parties proportionnelles donne une correction trop forte ; la méthode de Newton une correction trop faible, et par conséquent, la vraie valeur de la racine est comprise entre les quantités calculées OQ et OP.
Les figures 8 et 4 se rapportent au cas où fix^) et f{x^) ont des signes contraires ; la tangente au point D, étant placée entre la courbe et l'ordonnée DB, rencontre Taxe en un point Q situé entre A et B ) le point M est encore com-<* pris entre les points P et Q ; la première correction donne un résultat trop faible, la seconde un résultat trop fort ; de sorte que la vraie valeur de la racine est toujours comprise entre les quantités calculées OP et OQ. Si Ton mensdt la tangente au point G, oette tangente pourrait rencontrer Vm« ftin delà du point B« et Ton s'éloignerait de la racine ÉXk lieu de s'en rapprocher.
Fig. 3
Pig. 4.
MQ
Quand on emploie ainsi simultanément les deux iiiéthodeif ou est dispensé d'évaluer les erreurs; l'un deé ré^ eultats étant trop fort , l'autre trop faibie, la vraie valent de la racine est comprise entre eux, et l'on sait d'une ma* niëre précise l'approximation sur laquelle on peut craiptef»
MÉtftOOB De l4ËW1t>!t. 38d
81 Ton appliquait plusieurs fois successiveiueut l'une et l'autre méthode^ on mènerait une série de cordes CD, CD', . i .. I et une série de tangentes telles que CQ, C'Q, . .• • ;
On obtîénàraît aîiisi deux séries de points P, P, ,
0, Q\ qui se rapproctieraient très-rapidement dtt
point M où la courbe coupe Taxe.
Exemples^ 237. Reprenons réqiltttiofl
dont la plus petite racine est comprise entre o^S et o4 (to* 218). La fonction étant positive pour a^o^^i afaîsi que la secdnde dérivée, la courbe a la dispot^ition de la figure 1> On mènera la tangente au point G, et la méthodd de Newton donnera 1» eorreetioa approchée par dtfaut
so,oi3ig.
Pour êralaer Terreur d'après la formule (7), comme f^'{x) crdll avec Wi^ on aura
8A0 ilTBE TII, GHAP. IT.
Ainsi, la quantité a est comprise entre o^oiSiget o,oi396. On prendra a = 0,01 32 et Ton aura la racine o,3i3*2 avec quatre décimales exactes. La méthode d'interpolation ne donnait que trois décimales (n"" 231).
Quand il s'agit d'une équation du troisième degré , la quantité hf[x^y et par suite f{x^ se déduit d'une manière très-simple du tableau des différences, comme nous l'avons remarqué au n" 217.
