Considérons maintenant l'équation du quatrième degré

ar* — 5a:' r— 7a?* + i5a: + 3=o,

dont nous avons calculé les racines positives à un dixième près (n* 224). Pour la première racine, la méthode d'interpolation nous donne la correction

o,&oi6 __

L'erreur commise est

jg(i--z)(2 — z)(5 — z) 24 '

négligeant le dernier terme, qui est négatif, on voit qu'elle est positive et moindre que

Ainsi la valeur de z est comprise entre 0,1 63 et 0,180. On prendra 0,17, ce qui donne la racine a? =1,4 17 à moins d'un millième près.

3Si UVRE VII, GHAP. IV.

Méthode de Newton.

233. Voici une autre méthode d'approximation, connue sous le nom de méthode de Newton. Supposons toyjour» qu'une racine, et une seule, soit cgraprise entre iP^ et a?^+ A. Représentons cette racine par «^ + *» ^ étant plus petit que A, et développons fix^^a) suivant la loi eoncufi»

A^o + «)=/'W+r(iPo)7+r(^.)— + ;

DOUA auroos pour déterminer Tipconnue «( Téqu^tiQ»

(3) o=f{x,)+r{x,)a^rM^^. , . , ,

L'inconnue a étant une quantité très-petite, on pourra négliger les puissances supérieures à la première, et Ton aura Téquation du premier degré

d'où l'on déduit la valeur approchée

On peut écrire l'équation (3) sow la forme

L'erreur commise quand çn prend h valeur appro-

dée ~ i jr-^ est exprimée p^r la parenthèse ; pour m

rendre compte de Terreur, on évaluera rapidement et p«f excès cette parenthèse.

MitHObK DE NEWTON. SS5

28ft. Mftia on peut obtenir une expression beaucoup plus simple du reste. La formule générale démontrée att n» 187» si Ton s'arrête à la seconde dérivée, donne

Où aura donc pour âéterminer l'iDconaue a l'équation

qu« l'on p«at écnre sotui 1« foroi«

rK) » A*.)

Si Ton prend la valeur approchée otap^^^ W)^ TeîTWr commise a pour expression

Pour évaluer cette erreur, on remplacera f'\x^+^(i) par la plus grande valeur absolue de la seconde dérivée f^'(x) ? quand x varie de x^hx^ + h.

f"(T \ ^rt\

La qyantite ^-^. V , ^ est ordinairement plus petite que

ruoiti, et par conséquent Terreur commise mcHndre que «^. Ainsi l'application de cette méthode double en général le nombre des chiffres décimaux exacts ^ par exemple, si h est moindre que o,ooi, Terreur commise sera en général moindre que o,oooooi; on connaissait la racine avec troia chiffres décimaux exacts ; on Ta maintenant avec six chiffres décimaux. On peut répéter Topération plusieurs fois, en se servant de la valeur donnée par une première opération pour en déduire une valeur plus approchée, etc.

S36 LIVRE vu, CHAP. IV.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, la valeur x^ approchée par défaut; les mêmes raisonnements et les mêmes formules s'appliquent au cas où elle est approchée par excès; il suffit de rendre h négative.

235. Les deux méthodes d'approximation précédentes ont une signification géométrique très-simple. Représentons par deux ordonnées AG et BD les valeurs de signes contraires du polynôme pour 55= â?^ et a;=a?j=aî^ + ft, et traçons la courbe du point G au point D. Gette courbe coupe Taxe OX en un point M qu'il s'agit de déterminer. Il est aisé de voir que la méthode d'interpolation par parties proportionnelles consiste à remplacer Tare de courbe GMD par la corde GD, tandis que la méthode de Newton revient à mener 1% tangente GQ au point G, ,

Fig. 1.

Fig. 2.

En effet , par le point D traçons une parallèle DE à l'axe OX ; on a Aw, = =h(BD + AG) = itGE; les triangles semblables AGP, GED, donnent