Mutiplication. Soit à faire le produit de deux nombres

incommensurables, par exemple V/7XV 5. Si l'on prend

6 UVRE I, GHAP. 11.

les deux nombres par défaut, puis par excès, on a un premier produit plus petit que le second ; d'ailleurs ces deux produits^ diffèrent entre eux d'une quantité aussi petite qu'on veut; donc ils comprennent une grandeur qu'ils représentent avec une approximation indéfinie.

Il est clair que le produit de plusieurs nombres incommensurables ne change pas quand on intervertit l'ordre des^ facteurs f car le produit des nombres fractionnaires approchés ne change pas. Ce théorème fondamental étendu aux nombres incommensurables, toutes ses conséquences le sont par là même; ainsi on peut grouper deux facteurs en un seul, décomposer au contraire un facteur en deux, etc.

Division. Si Ton prend le dividende par défaut, le diviseur par excès, ou, réciproquement, le dividende par excès, le diviseur par défaut, le premier quotient sera plus petit que le second, et comme leur différence est infiniment petite, ils comprennent entre eux une grandeur déterminée qu'ils représentent avec une approximation indéfinie.

Les propriétés des fractions algébriques, et en général toutes les règles de calcul algébrique, subsistent évidemment quand les lettres désignent des nombres incommensurables. (Voyez YAlgèbre^ première partie, livre I.)