RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS TRANSCENDANTES

239. Jusqu'ici dous n'avons considéré que des équations algébnques. On procède d'une manière analogue pour les équations transcendantes. Soit Téquaiion f{x) = o, dont le premier membre est une fonction continue de a?. On substituera des valeurs équidistantes de x et Ton aura re* coursa la dérivée /"(a?) . Si la dérivée conserve le même signe dans un intervalle, cet intervalle comprendra zéro ou une racine de l'équation proposée, suivant que les résultats de la substitution seront de même signe ou de signes contraires. On subdivisera ensuite les intervalles qui laissent de l'incertitude. Les explications que nous avons données au n'' 228 s'appliquent aux équations transcendantes comme aux équations algébriques ; car la formule (i) , dont nous nous sommes servis, a été démontrée pour les fonctions continues quelconques •(n'' 137). Ainsi, on pourra pousser les subdivisions assez loin pour que les racines soient séparées avec certitude; ceci suppose toutefois que la fonction f(x) et sa dérivée ^'(o?) n'ont pas de racines communes.

Une fois qu'on aura séparé les racines et qu'on les aura obtenues avec un ou deux chiffres décimaux, on appliquera les méthodes d'approximation dont il a été question dans le chapitre précédent; mais ici quelques observations sont nécessaires. La méthode de Newton s'applique sans difficulté ; mais la formule (C) du n^ 213, d'où nous déduisons l'expression de l'erreur dans l'interpolation par parties proportionnelles, n'a été établie que pour les fonctions entières, A la vérité, les considérations géométriques dont nous

8&2 UVRB ¥il, GHAP. V.

avons fait usage dans le chapitre précédent sont vraies pour les fonctions continuer quelconques ; de sorte que si Ton emploie simultanément les deux méthodes de correction, on aura deux valeurs comprenant la racine, et par conséquent on connaîtra l'approximation sur laquelle on peut compter. Quelques exemples feront biep comprendre la manière de procéder.

2A0. £xEMPL]& I. Soit l'équation

Si Ton prend les logarithmes vulgaires des deux membres, cette équation devient

/(^) » «tf-{loga; + log257)gç= a? -- {\ç^op. + a,4oQ33^î4) =^f .

Substituons d^ abord à la variable x les nombres entiers 0, I, a, 5, ..., eu nous bornant à reconnaître le signe de f{œ) sans faire de calcul. Pour a5== o, log a? = — 00 ; donc, f(x) = 4-00. Pour J5 =^ 1» logï = o, f(ï) < 0. Ainsi, il y a une première racine comprise entre o et 1 . Pour «?=:», la parenthèse étant supérieure à s, on aura encore évidemment f[^) < 0. Si Ton ajoute le logarithme de 8, qui est 0,477» ^^ nombre constant 2,409, on voit de suite que Ton aura un résultat plus petit que 5 ; donc ^(3) > o. Ainsi, il y a une seconde racine entre s et 3. 1/ équation proposée

b'ç^ pfts d'autre racine réelle ; car la dérivée /'(^p) =; i

n*a qu'une racine a; = M« (M désigne ici le module des logarithmes vulgaires.)

Proposons-nous de calculer la racine comprise entre t et 3, d'abord à un dixième. On substituera à â? les valeurs «uccessivesa,! ; 2, s; Mais on peut diminuer beaucoup le nombre des substitutions. Le logarithme de s,i est