RÉSOLUTION DES EQUATIONS TRANSCENDANTES. MS

0^329 ; ajouté à •»4o9, il donne 9,73; il e|i résulte que |P =^ i,7 doanera encore un résultat négatif. Il «uffil 4# lire \m deux premiei'R chiffres des logarithmes de e,8 ei de »,^

pourvoir que x=2,8 donnera un résultai négatif ^ a,9 un résultat positif. Ainsi, la racine est comprise entre 9,8 et 2,9.

Cherchons-la maintenant à un centième. Le logarithme de 2,81 ajouté à 2,409 donne 2,85 ; il en résulte que 2,85 donnera encore un résultat négatif. Essayons 2 ,86 \ le lo«* garithme de 2,86 ajouté à 2,409 donne 1,866} le résultat est négatif. Le logarithme de 2,87 ajouté à 2,409 donne 2,867; le résultat est positif. Ainsi la racine est comprise entre 2,86 et 2,87.

Calculons-la à un millième. Le logarithme de 2,861 ajouté à 2,4099 donne 2,866 : on en conclut que 2,86 donne encore un résultat négatif. On essayera 2,967 et 2,868 ; I4 premier donne un résultat négatif , le second un résultat positif. Ainsi, la racine est comprise entre 2,867 ^^ s,868.

Le logarithme de 2,8671 ajouté à 2,40993 donne 2,86737; on en conclut que la racine est plus grande que 2,8673. En remplaçant dans le premier membre de Téquation X successivement par 2,8674 et 2,8676, on obtient deux résultats de signes 'contraires , — 0,0000214 et -f o,oooo635. Ainsi, la racine est comprise entre 2,8674 et 8,8675.

On fbra ensuite une interpolation par parties propon» tionnelles. Quand on passe d'une valeur à l'autre, lavar nation de la fonction est 0,0000849 s on a donc

X s»--— îr=t o,a$a

Lm dsttk tenues de la fraotion étant apiproebés« à wAm

ihh LIVRE Ylly GHAP. V.

d'une unité près , Terreur commise sur le quotient est moindre que 0,007; ^^ prendra donc js=:o,35 et 07 = 2,867425. On ne peut pas aller plus loin avec les tables de Gallet.

2il, Exemple III. Considérons l'équation

ar«= 100,

qui été traitée par Euler. Si l'on prend les logarithmes vul* gaires , l'équation s'écrit

f(x) = arlog^ — 2 = 0, et l'on a

r(x)=\ogx + U; r(^) = ^.

Quand x varie de o à 1 , f{x) reste négative et il n'y a pas de racine dans cet intervalle. Substituons les nombres en* tiers consécutifs

j? = 2, log a = o,5oi, 2log 2 = 0,60, f{x) = — 1 40, T = 3, log 3 = 0,477» 3iog3 = 1,43, /*(a?) =— 0,57, 0? = 4^ log4 = 0,602, 4 log 4 = 2,41, f(x) == -f- 0,41.

La dérivée s'annule pour a? = -, et reste positive pom*

toutes les valeurs de x supérieures à cette valeur; on en conclut q}xef{x) va en croissant constamment quand x varie

de - à + 00 ; cette fonction passe donc une fois et une seule

fols par zéro. Ainsi, Téquation proposée n'admet qu'une racine réelle, et cette racine est comprise entre 3 et /|.

Afm de diminuer le nombre des substitutions, effectuons rapidement une interpolation par parties proportionnelles