aa

— aa'i»

— ab" 4- a'b" ab"

ar*-i- a»

ar— a»*«

+aa»6»

+ao'i*

— aa'ô*

—ab'

— aaft'

- ab"

Remarquer sur la multifUcation.

53. Remarque I. Nous avons établi (n** 47)» la règle de la multiplication des polynômes, en supposant que, dans le polynôme multiplicateur, la somme des termes positifs est plus grande que celle des termes négatifs, et nous avons vu que l'opération revient à ajouter le produit du multiplicande par la somme des termes positifs du multiplicateur, et à retran-

ih tIVRB h — OHAP» III.

ober l6 produit du mul^plioande par la scHoame d^s tarom n6^ gatifs, él est naturel d'étendre cette idée au cas où la somme des termeg positifs du multiplicateur est plus petite que œUe des termes négatifs \ nous dirons donc que multiplier par un polynôme quelconque^ c'est multiplier par la somme dea termes positifs, et par la somme des termes négatifs, ajouter le premier produit et retrancher le second. De cette mamir« la règle à laquelle nous sommes arrivés sera générale. Soit, par exemple, l'expression

a — (ô — c) (rf — e)

dans laquelle nous supposons 6 plus grand que c , d plus grand que e. Nous avons à retrancher le produit de deux polynômes ; il suffit pour cela de changer les signes de l'un d'eux; car il est évident que Ton change ainsi les signes de tous les termes du produit, et l'on sait que la soustraction revient à un changement de signes. Nous pouvons donc écrire l'expression sous l'une des deux formes

a + {c—i)(d — e) ou

L'un des polynômes devient négatif^ mais c^ n'offre aucun inconvénient, puisque si Ton effectue la multiplication d'après la règle énoncée, les trois expressions donnent naissance au même polynôme

Si l'on change les signes des deux polynômes, le produit ne change pas ; ainsi l'expression précédente peut encore être mise sous la forme

bk. U (sonvient aue^i d'appliquer la môm^ dôiinitioo à des termes pris isolément, et nous dirons que multiplier

M9iTipUCAX]0||« 6t

vim qnMli*^ qu9leo))que pal» we qi^intit^ «ff^âtée du mgDâ + ou du signe —, ç*^ multipli» par cette quantité M

ajouter ou retrancher le produit, suivant que le multipUça*teur est positif ou négatif.

Reprenons Texpressioli

dàïis laquelle nous avotis supposé b plus grand que c, d plus grand que t. Si nous désignons par f et j les valeurs des deux polynômes 6 — c et d — e, l'expression se réduit à

Nous avons dit que Ton peut mettre <^tte expression sous lalbriEif

remplaçons les deux polynômes 5— c et e — d par leurs valeurs + /" et — gf ; nous auroos h multiplier + /par ^ y^ ce qui donne -^ fg, at pous retrQuvon3 ain»i h m^me ré^ sultat a — fg.

Considérons encore l'expression

qui se réduit à

Nous pouvpps la mettre aou? la forme

remplaçons les deux polynômes c — 6 et e — d parleurs valeurs — f et — g, nous aurons à multiplier — /par — g^ ce qui donne + fg^ ^t nous retrouvons ainsi le même ré« sultat a + fg. '

Il résulte de cette manière d'envisager la multiplication algébrique que le produit de deux polynômes est égal à

56 UTRE h — GEAP. m.

la iomme algébrique des produits du multipliesmde par diacun des termes du multiplicateur.

55. Remarque II. Le produit d'une quantité négative par une quantité négative étant positif, le carré d'une quantité négative sera positif; mais le cube, qui est égal au produit du carré par la quantité elle-même, sera négatif; en général les puissances paires d'une quantité négative sont positives, mais les puissances impaires sont négatives.

Cette remîwque est importante. Si l'on veut changer le signe d'une lettre dans un polynôme, on changera les signes de toutes les puissances impaires de cette lettre, sans changer ceux des puissances paires.

Par exemple, en multipliant le binôme a+b par luimême, on trouve

Changeons le signe de 6, le terme safr changera de signe, mais le terme b* ne changera pas ; nous aurons donc'

(a-^bY=a*—^ab+b\

Ces deux égalités donnent naissance à ces deux théorèmes de géométrie élémentaire : le carré coQStruit sur la somme ou sur la différence de deux lignes égale la somme des carrés construits sur chacune de ces deux lignes , plus ou moins deux fois le rectangle ayant l'une pour base, l'autre pour hauteur.

La multiplication dea + b par a — b donne

En changeant le signe de b on permute simplement les deux facteurs du produit, et l'on voitVju'en effet le second membre ne change pas. L'égalité précédente s'énonce ainsi : le produit de la somme de deux quantités par leur différence

MULTIPUGATION. 57

égale la difi!^nce des carrés de ces deux quantités. C'est une proposition fréquemment employée en algèbre ; elle se traduit en géométrie par ce théorème : le rectangle construit sur la somme et la différence de deux lignes égale la diffé rence des carrés construits sur ces deux lignes. Si Ton multiplia le carré de a+6 par a+5, on trouve

on en déduit, en changeant le signe de i,