CHAPITRE IV
56. La division est l'opération inverse de la multiplication. Elle a pour but, étant données deux expressions algébriques, nommées. Tune dividende, Tautré diviseur, d'en trouver une troisième, nommée quotient, qui, multipliée par le diviseur, reproduise le dividende.
Quotient de deux puissances d'un même nombre.
57. Soit à diviser a"* par a*, le quotient sera a"*"*; car si l'on multiplie ce quotient par le diviseur a", ce que Ton fait en ajoutant les exposants, on reproduit le dividende a*". On a donc
Règle. Pour diviser deux puissances d^un même nombre V une par Vautre, de V exposant du dividende on retranchecelui du diviseur.
Exemple :
Exposant zéro.
68. Le quotient est entier lorsque Texposant du dividende est plus grand que celui du diviseur. Alors oq peut
eStetivim^t t^tm^^ l'expopant du di?iiBur de celui du
dividende.
Lorsque Texposant du diviseur est égal à celui du dividende, l'application de la règle préoédonte conduit au tym^ bole a^; car on a dans ce cas,
Le symbole a% représentant le cpiotient de deux cpiantités égales, a une valeur égale k l'unité, quelle que soit la valeur de a. L'emploi de ce symbole est très-utile en algèbre ; nous en avons déjà fait usage plusieurs fois implicitem^t ; ainsi nous avons dit (n'' 82) que» lorsqu'une lettre n'entre pas dans un monôme, on peut la considérer comme y entrant avec l'exposant zéro, et nous avons supposé le polynôme
écrit sous la forme
Les facteurs introduits b^ et a\ étant égaux à l'unité, m changent pas la valeur du premier ni du dernier terme-
L'emploi de l'exposant zéro simplifie les énoncés : on peut énoncer la règle de la multiplication des monômes en disant simplement que r<»i multiplie les coefficients et que l'on ajoute les exposants des mêmes lettres. Il n'y a qu'à supposer, en effet, que, lorsqu'une lettre n'entre pas dans l'un des monômes, elle s'y trouve avec l'exposant zéro.
Lorsque l'exposant du diviseur est plus grand que celui du dividende, le quotient est fractionnaire; on le simplifie en divisant les deux ternes par le numérateur. Aixm
6Ù UVRE 1. — CHAP. lY.
Ilins ce cas, rapplication de la règle conduit au symbole a~', qui représente -^; c'est là l'origine des exposants négatifs dçnt il sera question plus tard.
Division des monômes.
59. La règle formulée pour la multiplication des monômes (n° 45) conduit immédiatement à la règle suivante :
Règle. Pour diviser un monôme par un monôme^ on divise le coefficient du dividende par celui du diviseur ^ et Von retranche les exposants du diviseur des exposants des mêmes lettres dmns le dividende.
Soit à diviser i2a*6'c''d«* par 4û'6*c*d. Le quotient demandé sera 3a*6c'e* ; car si l'on multiplie ce quotient par le diviseur, on reproduira évidemment le dividende. Ainsi
En appliquant la règle, on regardera la lettre e comme affectée de l'exposant o dans le diviseur.
60. Remarque. Pour que le quotient soit entier, il faut que le coefiicient du dividende soit divisible par le coefficient du diviseur, et que les exposants du diviseur ne surpassent pas les exposants des mêmes lettres dans le dividende.
La secopde condition est surtout essentielle ; car si elle est remplie sans que la première le àoit, le quotient aura, il est vrai, un coefficient fractionnaire, mais il sera encore entier algébriquement. On aura, par exemple,
Sa^^c'^d^e a ., , .
r—- = ~ a oVae.
DITISIOR* 01
On dit qu'âne expression est entière àlgibriquement , lorsqu'elle est entière sauf des coefScients fractionnaires.
Si la seconde condition n'est pas remplie, le quotient sera fractionnaire ; m^s alors on le simplifiera autant que possible. Par exemple
3oa'6V ~ 56c* '
Division Sun polynôme par un morkôme,
61. On sait que l'on multiplie un polynôme par un monôme, en multipliant chaque terme du polynôme par le monôme (n"" &6) ; on effectuera donc la division d'un poAfnôme entier par un monôme entier, en divisant chaque terme du dividende psu* le diviseur. Le quotient sera entier si chaque terme du dividende est divisible séparément par le diviseur ; sinon» il sera fractionnaire.
Division des polynômes.
62. Supposons les deux polynômes ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d'une même lettre. La question est de trouver un polynôme entier qui, multiplié par le polynôme diviseur, reproduise le dividende. Imaginons ce polynôme trouvé et ordonné aussi par rapport aux puissances décroissantes de la même lettre. Nous savons que, dans la multiplication de deux polynômes ordonnés (n^ ^9) > le premier terme du produit provient sans réduction de la multipUcation du premier terme du multiplicande par le premier terme du multiplicateur. Ainsi, le premier terme du dividende est exactement le produit du premier terme du diviseur par le premier terme du quotient ; si donc on divise le
premier tenm du dividende par le premier terme du diviseur, on obtiendra le premier terme du quotient
Le dividende est égal à la somme Abs produits pardeld que l'on obtient m multipliant le divii^ur par chacun des termes du quotient ; multiplions le diviseur par le premier terme du quotient, et retranchons ce produit du dividende, nous aurons un reste qui sera égal au produit du diviseur par les autres termes du quotient. Ce reste constitue donc un nouveau dividende, sur lequel nous pouvons raisonner comme sur le dividende proposé* Le premier terme de ce nouveau dividende est le produit du premier terme du diviseur par te premier terme du quotient correspondant t en divisant le premier terme du reste par le premier terme du diviseur, on aura donc le second terme du quotient, etc.
Rien n'est changé dans le raisonnement quand On suppose les polynômes ordonnés par rapport aux puissances croissantes d'une même lettrôé
On déduit de là la règle suivante t
Règle. Pour diviser deux polynômes entiers Vun par V autre j on ordonne ces deux polynômêê par rapport aux puissances décroissantes ou par rapport aux puissances crois- B&ntes d'une mime lettre; un dim$$ le premier terme du dtvidende par le premier terme du diviser ^ ce qui donné le premier terme du quotient; on multiplie le dif^iseur pat ee premier terme du quaHmt et on fetranche lé produit du divi^ éend»; on divise 1$ premier terme du resté par le premier terme du diviseur , -te qui donne te deuxième terme cRi quo^ tient; on multiplie le diviseur par ce deuxième terme du quù^ tient ^ et on retranche le produit du premier reête; on ditisé le premier terme du deuxième reste par le premier terme du dimeuri, et Von continue de eette manière jusqu'à ce que Ton arrive au dernier terme du quotient*
On obtient directement le d^mi^ terme du quoti^t en
diyisa&t l6 dernier terme du ^vidende par le dernier t^tne du diviseur. Car, dans la multiplication de deus polynômei ordonnés^ le dernier terme du produit provient aussi sans réduction de la mtiltiplicàtion du dernier terme du mvlû'i plicande par le dernier terme du multiplicateur- Arrivé M dernier terme , on doit trouver ensuite un reste nul , si la
division se fait exactement.
Il est clair que la loi des signes est la même que dus H multiplication; si les deux termes que Ton divise Tun par l'autre ont le même signe, le terme du quotient devra 6tro affecté du signe + ; ^'i^^ ont des signes contraires, le tprmd du quotient de^ra 6^ affecté du signe -^
Exemptes.
6dé Exemple L Soit à diviser le polynôme
8a'— 26a*i + ^aH^ + 3oa*i«— a2a5*4. SS^
par le polynôme
On dispose l'opération de la manière suivante :
8a»— a6a'64- 7a»ô*+5oa«6*— 22ai*+3i» 2a*— Sa«6-^ûi*+5* — 8a^+i2a*ô4-2oa*6*— 4â*6*
4a«— 7a6-fS6»
in tî «M
— i4a*A+à7«V+a6a*6^— aaaè*+3*'^ 4-i4a*é— aia'é'— 35a*A»+ yai*
j^ 6a»6*— ga'ô»— i5a6*+5**
Les d^ux polynômes sont ordonnés par rapport aux pui»; sanc6s décroissantes de a» On divise le premier terme 8a» du dividende par le premier terme sa* du diviseur, ce qui donne le premier t&nèm 4a' du quotîenti On multiplie tout
Ô4 LIVRB I. — CHAP. IV.
lé diviseur par 4a' et on retranche le produit du dividende ; pour cda on écrit au-<lessous du dividende les différeiâB termes de ce produit, avec des signes contraires, puis on additionne, en réduisant les termes semblables. On obtint dnsâ le reste
— i4a** + a7a»6*+ aôaW— aîiaJ*+ Zb\
On divise le premier terme — i4a*6 de ce reste par le premier terme 2 a* du diviseur, ce qui donne le deuxième terme — jab du quotient. On observe que ce terme doit être affecté du signe — , en vertu de la règle des signes établie pour la multiplication des polynôpes (n"" 4S) ; en effet, le terme — i4a*6 du produit ayant le signe — , les deux termes qui le produisent doivent avoir des signes contraires ; mais le terme aa^ a le signe -f* ; donc le terme jab aura le signe — . On multiplie le diviseur par ce deuxième terme et on retranche le produit du reste ; on obtient ainsi un deuxième reste
+ 6aV— 9aW— i5(ii*+ 36».
On divise le premier terme + 6a V de ce deuxième reste par le premier terme 2 a' du diviseur, ce qui donne le troisième terme + 36* du quotient. On multiplie le diviseur par ce troisième terme du quotient; on en çstranche le produit du deuxième reste ; on trouve zéro. L'opération est terminée. Le quotient demandé est
Remarquons que Ton aursdt trouvé immédiatement le dernier terme + 36* du quotient, en divisant le dernier terme +36* du dividende par le dernier terme + 6* du diviseur.
Le degré du quotient par rapport à la lettre ordonnatrice est égal au degré du dividende, moin celui du diviseur.
6à. Exemple IL Soit encore à diviser
par
4r*— gar'+Oa:— 1
Le polynôme dividende n'étant pas complet, on laissera des intei-valles vides afin de pouvoir placer les termes semblables les uns au-dessous des autres.
ax' — 3a: 4-»
+6x' — 1 ix*-)-6a?— 1 — ^^+ 9^ — 3x
— îix*+3a? — 1 + 2^* — Zx+i
Remarques sur la division.
65. Remarque L Quand les polynômes proposés renferment plusieurs termes non semblables du même degré par rapport à la lettre ordonnatrice, les coefficients des diverses puissances de cette lettre scmt des polynômes et l'opération devient très-oompliquée. Soit à diviser le polynôme
(a*— a^b + a-6*— ab^)x^+ (a»— 3a*é + a'i*+ b^)x''
par
(a'+ b^)x*— {a*b + ab^x + b'.
On disposera l'opération de la manière suivante :
—ab*
— aa'o
— 2a'6* — aaè' — 6»
ab' a'b
•aa**»
aa'é»
a*6' — aa'è* — *•
— aé«
■aW +b*
a» a;' — a^b +6' — aô'
a ■ab
a;»+ a' — aa'ô
1" DIVISIQK PARTIHLIB,
b +ab*
-\-ab*
