RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

Dèflnitiom.

77. Une identité est une égalité évidente par elle-même, comme

Une éqilation^ est utie égalité dans laquelle entrent une cm plusieurs lettres désignant des quantités inconnues.

Résoudre des équations, c'est trouver les valeurs des in^ connues qui satisfont aux équations proposées, c'est-à-dire qui rendent égaux les deux membres de chacune d'elles. Si l'on remplace les inconnues par leurs valeurs, les équations deviennent des identités.

On dit que deux équations sont équivalentes^ lorsque toutes les valeurs des inconnues qui satisfont à l'une satisfont à l'autre et réciproquement.

Deux systèmes d'équations simultanées sont équivalents^ lorsque toutes les valeurs des inconnues qui satisfont à l'un satisfont à l'autre et réciproquement.

Il est clair que, dans la résolution des équations, on peut

8Â LIVRE H. — GHAP. I.

remplacer une équation par une équation équivalente, un système d'équations par un système équivalent.

78. On appelle d^gré d'une équation la plus grande somme des exposants de toutes les incomiues daijs un même terme. Ainsi les équations

sont du premier degré. Les équations

5x — 3y = 2xy — 5,

sont du second degré; dans cette dernière le terme zxy est du second degré par rapport aux deux inconnues x et y.

On a classé les équations d'après leurs degrés. Nous nous occuperons d'abord des équations du premier degré.

Résolution d'une équation du premier degré

à une inconnue.

79. La résolution d'une équation du premier degré à une inconnue dépend de principes très-simples dont nous avons déjà parlé dans l'introduction (n*** 7 et 8) et que nous allons exposer avec plus de détaiL

Théorème L

Si aux deux membres d'une équation on ajoute une même quantité^ ou si des deux membres on retranclie une mime quantité^ on transforme cette équation en une autre iquivalente.

Appelons A et B les deux membres de l'équation proposée, qui sera ainsi représentée par

et, afin de simplifier, supposons qu'elles ne contiennent qu'une seule inconnue x. Une solution de cette équation est une valeur de a: qui rend les deux expressions algébriques A et B égales entre elles. En ajoutant aux deux membres la même quantité C , nous formerons une nouvelle équation

équivalente à la proposée. En efiet, toute valeur de x , qui satisfait à la première équation, satisfait aussi à la seconde ; car, si aux deux ^antités égales A et B on ajoute la même quantité C, on obtient deux quantités égales A + C et B + G. Réciproquement, toute valeur de a?, qui satisfait à la seconde équation, satisfait aussi à la première; car, si des deux quantités égales A + G et B + G on retranche la même quantité G , on obtient deux restes égaux A et B. Les deux équations, admettant les mêmes solutions, sont donc équivalentes.

On démontrerait de la même manière qu'en retranchant une même quantité G des deux membres de F équation proposée, on forme une nouvelle équation équivalente

80. Corollaire I. Un terme quelconque d'une équation peut être écrit dans f autre membre avec un signe contraire. Soit l'équation

Si nous ajoutons 7 aux deux membres, l'équation devient

le terme 7, qui avait le signe — dans le premier membre, est passé dans le second membre avec le signe +• D® même, si nous retranchons 2X des deux membres, l'équation devient

86 JJYRE H. -^ CBAP. I.

lo terme ^a?, qui ^vsàt le signe + dans le âecond membre, est passé daps le premier avecle sigw -^.

81. Corollaire IL On peut changer les signes de tous les termes Xune équation. Soit l'équation

Si Ton fait passer dans le second membre tous les termes du premier et réciproquement, cette équation devient

— 5^ -f" 6 = — 10 -|- 'oXy OU, en tr|tnsposp.nt les deux membres,

Théorème IL

82f Si Von multiplie ou si Von divisa lesi deux mombre$ d'une équation par une même quantité ne renfermant aucune inconnue^ on transforme cette équation en une équation équivalente.

En vertu du thém^ème précédent, pous pouvons supposer ,que Ton a fait passer tous les termes de l'équation dans Je premier membre, de sorte que, si nous appelons A ce premier membre, l'équation sera représentée par

Dne solution de cette équation est une valeur de x qui rend l'expression algébrique A égale à zéro. En multipliant tous les termes de cette équation par un nombre donné m, nous formerons une nouvelle équation

équivalente à l'équation proposée. En effet, toute valeur de X qui satisfait à la première équation satisfait aussi à la seconde; car, si la quantité A est nulle, le produit de cette quantité par le nombre m est aussi nul. Réciproquement,

toute valeur de x qui satisfait à la seconde équation satis> fait aussi à la première; car, si le produit mA est nul, il fkut que Tun des deux facteurs le soit; mais le nombre donné m n'est pas nul ; donc l'autre facteur A est nécessairement nul. Les deux équations, admettant les mêmes solutions, sont équivalentes.

De Dfiême, si l'on divise tous Içs terînes pio» un même nombre w, on transforme l'^quî^tion proposée en une autre

m équivalente,

83. Remarque, Pour la rigueur du raisonnement, il importe que le multiplicateur m ne soit ni nul ni infini, et pour cela il faut que ce multiplicateur ne contienne pas l'inconnue. Supposons, par exemple, que Ton ait multiplié par 55 — a ; l'équation

admet bien toutes les solutions de l'équation A = q j paais elle admet en outre la solution x = 2^ qui annule le multiplicatem\ Ainsi, la seconde équation n'est pas équivalente à la première, puisque, outre les solutions de la première, elle en admet encore une autre.

On voit comment la multiplication par une quantité contenant l'inconnue introduit dans l'équation des solutrotfô étrangères à la question. Quand une semblable opération sera nécessaire, on tiendra compte de cette circonstance, et parmi les solutions trouvées, on distinguera celles qui satisfont réellement à l'équation propesée.

Au contraire, la division par une quantité contenant l'inconnue peut faire disparaître une ou plusieurs solutions de l'(^quation.